私は、教育者でないので入試問題についての基準(教育現場で教えている約数の定義)もなにもわかりませんが、
おそらくは、約数という意味が２種類あるように思います。
すなわち、自然数に対しての約数(これが本来の約数という用語の原点だと思います)と、整数を割り切る数という意味での約数との２種類です。
どちらも本質は同じだと思いますが、その用語がつかわれる文脈や背景をもとにどちらの意味で使われているのか判断するしかないと思います。
割り切る数の事を約数というのであれば、負の数も含まれますが、個人的に約数は自然数(つまり正の数)を前提とした意味で使うことが多いように思います。

ご指摘、コメントありがとうございます。
確かに、「約数」とか、「自然数」の意味がわからないと素数の意味はわからないですね。

質問にある「不自然数」や「加工数」という数ですが、
数学ではこのような用語は使われないです(ローカル的に使われる事があるかもしれませんが一般的に使われることはありません)。

ちなみに、
自然数というのは、モノを数えるときに使う数のことです。具体的には、１，２，３，・・・の事を自然数と言います。
自然に生まれてきたから自然数というのでしょう。
逆に自然数でない数としては、マイナスの数や、分数、小数などがあります。

さて、
素数の事を知るには、かけ算がわかっていなければなりません。
かけ算で分解できない数が素数だからです。

しかし、
最初は素数の定義より、素数の例を覚えるのがよいと思います。
２０以下の素数は、２，３，５，７，１１，１３，１７，１９です。
これ以外の、１，４，６，８，９，１０，１２，１４，１８，２０は素数ではありません。

まずは、
この例をみて、「素数」と、「素数でない数」（「合成数」といいます）の違いがなにかを考えるとよいかもしれません。

式１は、3n^2+3n+1で表される式になると思いますが、

91は７*13ですから素数ではないですね。

簡単な多項式で素数だけを作るのは難しいと思いますが、
素数の研究するには、おもしろい切り口ですね。

有名な多項式
n^2+n+41は、
素数だけを作る式なのか？
という問題があります。
この式は、n=40で素数にならないので、
この問題の答えは「素数だけを作る式ではない」です。

しかし、この問題に触発されてか、
これに類似した式を探す研究もあります。

なお、驚くことに、素数だけの値をとる計算式は存在して発見されています。

Ruiz-Sondowの素数公式
Schumacherの素数公式
Regimbalの素数公式
http://integers.hatenablog.com/entry/Regimbal-theorem

Formula for primes
https://en.wikipedia.org/wiki/Formula_for_primes

おっしゃるとおりです。
間違いでしたので、訂正します。