コメントと、資料の紹介ありがとうございます。

私もそれほど詳しいわけではありませんが、無限大を数として扱っている最も有名なのはこの超準解析だと思います。
ただ、それほど浸透はしていないようですね。
おそらく、ウルトラフィルターという概念が抽象的すぎ、そして全然具体的でないのがその理由なのではないかと思います。
フィルターの作り方で二つの数列が同じになったり異なったりするわけで、具体的な演算をするのが難しく、実用に向いていない数かなと思います。

このアイデアは素晴らしいと思います。
しかも、このアイデアは無限の取り扱いが超絶難しいことを示す働きも行ってくれました。

ただ、私は、このアプローチとは別の方法で無限を取り扱うことを考えています。

私自身はあまり詳しくないのですが，超準解析といわれる分野が近しい気がします．
ご存知かもしれませんが，以下のpdfはわかりやすく読みやすいため参考になるかもしれません．
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kenkyubu/kokai-koza/H29-isono.pdf

おはずかしい限りです。
おっしゃる通りです。
収束する数列除いているのでS1は和、差、積についても閉じていません。

貴重なご指摘ありがとうございました。

※言い訳ですが、たぶん、演算が定義できる事と閉じていることを混同して考えていたのだと思います。
「和、差、積についても閉じている」→「和、差、積について演算が定義できる」
もっとも、S1は閉じていないので演算も定義できず、これでも誤りなのですが・・・

※実はこの記事は、（無限を含む）新しい数を考えても失敗の連続であることを示す意図で作成しています。