コメントありがとうございます。
私もその考えに同意です。

私は、もともとの概念として、「多項式の根」というのは
その多項式を特徴つける指標のようなものだと考えています。

その指標として、多項式＝０の解を
使うのが最もふさわしいと考えます。

おっしゃる通り、
例えば、多項式 x^2-3x+2の因数は、根1,2から引き出せます。

また、根の数によって、多項式の次数が対応します。

> 多項式の根なんて
いや、むしろ多項式にしか「根」は使わないと思いますよ。
「根」は多項式環などの文脈でよく使います。
多項式P(x)の根というのは、P(x)=0という方程式の解のことですが、
「解」という言葉を使うためには、
多項式P(x)そのものだけでなく、
P(x)に「=0」をつけ足して得られる方程式を考える必要があって、
多項式の中だけで話が完結しないわけです。
例えば、多項式の因数分解などは、「=0」をつけ足して方程式を考えたりしなくても、
多項式自体について考えることのできる概念です。
そこで「根」という用語を使うことができれば、
「多項式 x^2-3x+2 は二つの根 1,2 を持つから、因数として (x-1), (x-2) を持つ 」
のように言えるわけですね。多項式環の用語としてふさわしいですよね。
概念形成の黎明期においては解も根もあいまいに使われていたかもしれませんが、
現代的な用語としては、「根」は多項式に使い、「解」は方程式に使う、
というように使い分けられていると思います。

コメントありがとうございます。

昔はよく「根」を使っていましたが、すみません、最近は（特に学校教育の現場では）そうでもないかもしれません。

私は、一社会人ですので個々の現場の状況を把握しきれず、回答もうしあげにくいですが、
用語の使い方は、現場の状況（習慣）によると思います。

私は、
根（こん）というのは、根っこ、つまり、「（本質の）元をたどってたどって、さかのぼった所にあるもの」
といったニュアンスで、解とは、なんらかの問題の答えといったニュアンスを込めて使っています。