なるほど、

言われてみれば
ピタゴラス数の積は６０で割り切れていますね。

φ(..)

なるほど、与式は常に３の倍数になりますね。

5,14,23のように、間隔が3倍数の場合は、どれも３の倍数にはならないですね。
しかし、間隔が３の倍数でない場合、等間隔の数のうちの一つは３の倍数になります。

このことは、はじめからは言い切れない事だと思います。
n=3h,n=3h+1,n=3h+2と
m=3k,m=3k+1,m=3k+2の
９パターンの組み合わせで考えるやりかたもありますね。

実は、ピタゴラス数の一般式の求め方を、探していて、それは「長方形を対角線で折って出来る、重ならない部分の三角形」から、見つかったのですが、「ピタゴラス数の三数の積が60の倍数である」を、先ほどの式の変形で説明する事ができ、大変興奮しました。ブログに来年だしたいと思っていますので訪問してみて下さい。

仰せのとおり、自然数として、ｎ>ｍは不要ですね。
実は、難しい理屈でなく、式の変形だけで、下記ように説明できると思いましたが、「三個の数が等間隔離れた数であるとき一つは3の倍数である」と初めから言いきっていいかどうか不明です。説明『nm(n+m)(n-m)＝m(n+m)n(n-m)で、(n-m)n(n+m)は三個の数が等間隔離れた数でｍが3の倍数でないならこれらの項のうちのどれか一つは3の倍数である。ｍが3の倍数なら与式は当然に3の倍数である。以上から与式は常に3の倍数である。』

n>mのとき、nm(n+m)(n-m)が
3の倍数であることを示せばよいわけですね。
※n,mを(自然数でなく)整数とするのなら、n>mの条件はなくてもよいと思います。