静岡大学 2011年 第2問

問題

(1)pを2と異なる素数とする。\(m^2=n^2+p^2\)を満たす自然数の組\(m,n\)がただ一つ存在することを証明せよ。

(2)\(m^2=n^2+12^2\)を満たす自然数の組\(m,n\)を全てもとめよ。

(1)は、奇素数の問題です。なぜか、p=2の場合はダメなんですね。

解答

(1)

\(m^2=n^2+p^2\)より、

\(m^2-n^2=p^2\)
\((m+n)(m-n)=p^2\)

m,nは自然数(0でない)から\(m+n \ne m-n\)で、さらにいうと\(m+n \gt m-n\)である。

右辺の分解はpが素数であることから\(m+n=p^2,m-n=1\)しかありえない。

これを解くと、\(m=(p^2+1)/2,n=(p^2-1)/2\)。

pが奇数なら、\(m,n\)は自然数となるから、これがただ一つの解である。

(2)

考え方は、(1)と同じですが\(p^2\)と違って、\(12^2\)は二つの積に分ける方法が何通りもあるので、それぞれをチェックするのが大変ですが、地道にやれば解けます。

\((m+n)(m-n)=12^2=2^4 3^2\)より、

\(m+n=2^4 3^2=144,  m-n=1   ☓\)
\(m+n=2^3 3^2=72,  m-n=2\)
\(m+n=2^2 3^2=36,  m-n=2^2=4\)
\(m+n=2^1 3^2=18,  m-n=2^3=8\)
\(m+n= 3^2=9,  m-n=2^4=16   ☓\)

\(m+n=2^4 3=48,  m-n=3   ☓\)
\(m+n=2^3 3=24,  m-n=2^1 3=6\)
\(m+n=2^2 3=12,  m-n=2^2 3=12   ☓\)
\(m+n=2^1 3=6,  m-n=2^3 3=24   ☓\)
\(m+n= 3,  m-n=2^4 3=48   ☓\)

\(m+n=2^4=16,  m-n=3^2=9   ☓\)
\(m+n=2^3=8,  m-n=2 3^2=18   ☓\)
\(m+n=2^2=4,  m-n=2^2 3^2=36   ☓\)
\(m+n=2,  m-n=2^3 3^2=72   ☓\)
\(m+n= 1,  m-n=2^4 3^2=144   ☓\)

これらのなかから、\(m,n\)が自然数になる組をもとめると、

\((m,n)=(37,35),(20,16),(15,9),(13,5) \)