私の独特の言い回しがあるので、簡単に説明。本来の用語の使い方とニュアンスが異なることもあります。また、文脈によっては異なる意味付けになっている場合もあります。
用語
無限：限りがないこと。永遠の概念も含む。
無数：数え切れないこと。いくらでも多くあること。もちろん論理的に。
永遠：時間的に限りがないこと。ある操作が繰り返し終わりなく続くこと。
不可能無限：すべて有界の中でしか物事を考えない。無限に続く操作は思考の対象外とする考え方。
可能無限：ある操作が永遠に続くこと。終わらない状態。完結しない。その状態。自然数における可能無限の説明。
仮無限：可能無限のこと
潜在的無限：可能無限のこと
実無限：無限大の存在を肯定して考える。無限の操作が完結した状態を考えうる。自然数における実無限の説明。
無限大：あらゆる数よりも大きい数。通常は、全ての実数（場合によっては自然数）よりも大きい数。
無限小：あらゆる実数よりも小さい（細かい）正の数。
アキレス地獄：アキレスが亀に追いつかない状態。いつまでも宇宙の果にたどり着けない状態。
無限階段地獄：永遠に階が続いていて降りきることができない状態。無限に続く階段。
扇風機地獄：暑いという意味では無い。数直線を切断するカッターがついた羽をもつ架空の扇風機。数直線上を動く。回転しながら直線をたたき切る。回転数はゼロから扇風機の距離に反比例。ゼロ周辺のズタズタに切り裂かれた恐怖の状態。
山：無限大の比喩
チリ：無限小の比喩
単位無限小：正で全ての実数よりも小さい存在の一つ。無限小の基準とするために一つ固定する。
単位無限大：全ての実数よりも大きい存在の一つ。無限大の基準とするために一つ固定する。
動く数：数列の俗的な言い方(おそらく数学でこのような数の定義は確立されていないと思う)。例えば、1に収束する数列は1に向かって動いている点とみなす。この点の動きを数とみたて、動く数と呼ぶ。
小宇宙：具体的には開区間(-1,1)のこと。一般的には宇宙に含まれる開集合。
宇宙：具体的には開区間(-∞,∞)のこと。一般的には開集合。
高次の宇宙：小宇宙を含む宇宙。相対的な包含関係がある時の含む側。
壁小宇宙：具体的には閉区間\([-1,1]\)のこと。一般的には閉集合。境界がある。
壁宇宙：具体的には閉区間\([-∞,∞]\)のこと。一般的には閉集合。
記号
「0」：加法における単位元。無限小の意味では使わない。
「+0」：正の無限小。正の側から近づいて極限を求める意味。
「-0」：負の無限小。負の側から近づいて極限を求める意味。
「+∞」：正の無限大。正の方向への無限大での極限を求める意味。
「-∞」：負の無限大。負の方向への無限大での極限を求める意味。
「∞」：「+∞」の意味での省略記法。「-∞」または「+∞」の意味の場合もあり。
「ε」：あらゆる実数よりも小さい（細かい）正の数。単位無限小。
「ω」：あらゆる実数よりも大きい正の数。単位無限大。
「\(\mathbb{N}\)」：自然数全体の集合
「\(\mathbb{Z}\)」：整数全体の集合
「\(\mathbb{Q}\)」：有理数全体の集合
「\(\mathbb{R}\)」：実数全体の集合
「\(\mathbb{C}\)」：複素数全体の集合
