難しすぎて深入りしなかった(リーマン)ゼータ関数であるが、定義はすごくシンプルで、数論を扱ううえでは避けられない。

謎すぎる級数を調べていると必ずといってよいほどゼータ関数が絡んでくる。

$$ ζ(s)= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} $$
これがゼータ関数の定義式。

なにが謎かというと、例えば、\(s=0,-1\)の時に下記のような等式になるということ。

\[ 1+1+1+\cdots=-\frac{1}{2} \]

\[ 1+2+3+\cdots=-\frac{1}{12} \]

左辺は明らかに発散。右辺は収束。よって、この等式は成立しない。

しかし、左辺の級数の意味を変えると等式になるってことです。意味を変えるので通常の級数と区別するために、ダブルクォーテーションで囲む記法が使われている。

\[ “1+1+1+\cdots” =-\frac{1}{2} \]

\[ “1+2+3+\cdots” =-\frac{1}{12} \]