約数に関係する数の定義のサマリです。

名前の付いた数がいろいろとありますが、その定義を中心に記載しています。

約数に関する記号と関数

 

約数を表す記号

  • 特に断りがない限り、約数は正の自然数を扱う(負の約数は考えない)。
  • 割り切れる(割る)縦線記号「|」をつかって約数であることを示す。
  • d|n
    ⇔ dはnの約数である
    ⇔ nはdで割り切れる(割れる)
    ⇔ dはnを割る(割り切る)
    ⇔ nはdの倍数である

 

約数

  • dがnの約数である。
    ⇔d|n

基準約数

  • dがnの基準約数である。
    ⇔d|n かつ dと(n/d)は互いに素
  • 例:100の基準約数は1,4,25,100だけである(2,5,10は基準約数でない)

 

約数関数

  • 自然数nの約数すべてをj乗して総和を取る関数を約数関数と言う。具体的に約数関数\(\sigma_j(n)\)は下記の式で定義される。
    \[\sigma_j(n):=\sum_{d|n} d^j \]
  • j=1の時には、\(\sigma_j(n)\)はnの約数の総和を表す関数となり、単に\(\sigma(n)\)で表す。
    \[\sigma(n):=\sigma_1(n)\]
  • j=0の時には、\(\sigma_j(n)\)はnの約数の個数を表す関数となり、単に\(d(n)\)で表す。
    \[d(n):=\sigma_0(n)\]

 

 

完全数

  • かんぜんすう,英: perfect number
  • nが完全数
    ⇔ \(\sigma(n)=2n\)
  • オンライン整数列大辞典の数列:A006037
  • 例:6,28
  • 発見されている完全数は48個(2017年6月)

 

不足数

  • ふそくすう、英: deficient number
  • nが不足数
    ⇔ \(\sigma(n) \lt 2n\)
  • オンライン整数列大辞典の数列:A005100
  • 例:1,2,3,4,5,7,…

 

過剰数

  • かじょうすう、英: abundant number
  • nが過剰数
    ⇔ \(2n \lt \sigma(n)\)
  • オンライン整数列大辞典の数列:A005101
  • 例:12,18,20,…

 

基準完全数

  • 基準約数の総和が自分の2倍
  • 例:6,60,90,87360
  • 発見されているのは6個(2017年6月)
  • 奇数の基準完全数は存在しない

 

倍積完全数・多重完全数・k倍完全数

  • ばいせきかんぜんすう、英: multiply perfect number, multiperfect number, pluperfect number
  • たじゅうかんぜんすう
  • kばいかんぜんすう
  • 約数の総和が元の数の整数倍(k倍)になるような自然数
  • nがk倍完全数
    ⇔ \(\sigma(n)=kn\)
  • 例:2倍完全数は、完全数と同じである。

 

友愛数

  • ゆうあいすう、英: amicable numbers
  • (a,b)が友愛数
    ⇔ σ(a)-a=b, σ(b)-b=a
  • 例:(210,284)

 

婚約数・準友愛数

  • こんやくすう、英: betrothed numbers
  • じゅんゆうあいすう、英:quasi-amicable numbers
  • (a,b)が婚約数
    ⇔ σ(a)-a-1=b, σ(b)-b-1=a
  • 例: (48, 75), (140, 195), (1050, 1925), (1575, 1648), (2024, 2295), (5775, 6128),…

 

結婚数

  • けっこんすう
  • (a,b)が結婚数
    ⇔ 偶数と奇数からなる友愛数
    ⇔ σ(a)-a=b, σ(b)-b=a, aとbは偶数と奇数のペア
  • 未発見存在すら不明(2017年6月)

 

社交数

(a,b,c,…,d)が社交数 ⇔ σ(a)-a = b, σ(b)-b=c, …, σ(d)=a

例:(12496,14288,15472,14536,14264)

 

友愛三数

(a,b,c)が友愛三数 ⇔ σ(a)=b+c,σ(b)=a+c, σ(c)=a+b

例:(103340640,123228768,124015008)

三つの数字のうちのどれかひとつの約数の和が、残り二つを足したものに等しくなるという関係。

 

 

不思議数

過剰数であって擬似完全数でない。

過剰数のなかでは自分自身を除く約数の和で自分自身を表すことができない。

例:70

奇数の不思議数は発見されていない

 

 

擬似完全数

  • ぎじかんぜんすう、英: semiperfect number, pseudoperfect number
  • 疑似完全数とは、自分自身を除くいくつかの約数の総和が元の数に等しい自然数のことである。

 

原子擬似完全数

  • げんしぎじかんぜんすう、primitive semiperfect number, primitive pseudoperfect number, irreducible semiperfect number, irreducible pseudoperfect number
  • 擬似完全数のうち、その約数に他の擬似完全数を含まない数を原始擬似完全数という。
  • 原始擬似完全数は無数に存在し、そのうち最小の数は 6 である。
  • 例:6, 20, 28, 88, 104, 272, 304, 350, 368, 464, 490, 496, 550, 572, 650, 748, 770, 910, 945, 1184,…

 

拡大友愛数

  • (a,b)が拡大友愛数
    ⇔ σ(a)+1-a=b, σ(b)+1-b=a
  • 例: (6160, 11697)   最小の拡大友愛数
  • 無数に存在するかは分かっていない

 

 

概完全数

  • nが概完全数
    ⇔ σ(n) = 2n – 1
  • を満たす n は不足数であり、概完全数と呼ばれる。
  • 不足数でその数自身を除く約数の和がその数より1小さい自然数を概完全数という。
  • 例:2のべき乗は概完全数である

 

 

高度合成数

  • 過剰数の中でも、その数の真の約数(もとの数のもとの数と1を除いた約数)が全て不足数であるものを原始過剰数という。

 

オアの調和数

  • 調和数とは約数の調和平均が整数となる自然数のことをいう。
  • 完全数はオアの調和数である。

 

重超完全数・ハイパー完全数(hyperperfect number)

  • nがk-ハイパー完全数
    ⇔ k(σ(n)-1-n)+1=n
  • 例:
    • 1-ハイパー完全数 6,28,496
    • 2-ハイパー完全数 21,2133,19521
  • nがk-重超完全数
    ⇔ k(σ(n)-1-n)+1=n
  • もとの数の1ともとの数を除く約数の和をk倍したもの(真の約数和)に1足したものがが、もとの数と同じとなる自然数のことをいう。
  • 例:21 (2-重超完全数)

 

超完全数

  • \(σ^2(n)=σ(σ(n))=2n\)
  • 例:2,4,16
  • 奇数の超完全数は未発見。

 

(m,k)超完全数

  • nが(m,k)超完全数 ⇔ \(σ^m(n)=kn\)
    \(σ^m\)はσのm個の合成関数。
  • (m,2)超完全数はm>2のとき存在しない。(m=2の時は超完全数。)

 

約数と関連してよくでてくる数

メルセンヌ数

n番目のメルセンヌ数を\(M_n\)で表すとすると

\[M_n = 2^n-1\]

素数

  • 約数が2個しかない。

 

双子素数

  • ふたごそすう(twin prime)
  • 差が2である二つの素数の組
  • 例:(3,5),(11,13)

 

いとこ素数

  • いとこ素数(cousin prime)
  • 差が4である二つの素数の組
  • 例:(3,7),(7,11),(13,17)

 

セクシー素数

  • セクシー素数(sexy prime)
  • 差が6である二つの素数の組
  • 例:(5,11),(7, 13), (11, 17)

 

三つ子素数

  • みつごそすう(prime quadruplet)
  • 3個の素数の組で、(p, p + 2, p + 6) または (p, p + 4, p + 6) のタイプ
  • 例:(5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17)

 

四つ子素数

  • よつごそすう(prime quadruplet)
  • 4個の素数の組で(p, p + 2, p + 6, p + 8) のタイプ
  • 例:(5, 7, 11, 13), (11, 13, 17, 19)

 

 

偶数

  • 2を約数にもつ

 

単偶数

  • 2を約数にもつが、4は約数に持たない。

 

奇数

  • 2を約数に持たない。

 

参考サイト

Fandom 数学Wiki