微分積分に関する問題

東大2010年文系第4問（微分積分恒等式）

2次関数$f(x)=x^2+ax+b$に対して
\[f(x+1)=c\int_0^1(3x^2+4xt)f'(t)dt\]
が$x$についての恒等式になるように定数$a,b,c$の組をすべて求めよ。