[msg#wsiki]
問題
（１）
2進法で表したとき３０桁の整数は、１０進法で表すと何桁になるか。
\(\log_2{10}=0.3010\)として計算せよ。
（２）
正の整数nを２進法で表したとき、\(a_n\)桁になるとする。
このとき、
\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\log_{10}n}{a_n}\)
を求めよ。
（浜松医大）
解答（解き方）
いずれも答え自体はそう難しいものではありませんが、答えをどうやって示すのかが問題となります。
わかりきったことを証明しようとするときは、何を示せば証明したことになるのか、原点に振り返って考えます。
（１）
２進法で３０桁の最小の整数は、２進法で最初の桁が1でその後に２９個の０が続く整数です。
それは、１０進法で\(2^{29}\)となります。
１０進法での桁数を求めるためには、\(\log_{10}\)を取ればわかります。
[\(\log_{10}(2^{29})\)+1]が桁数になります。
[ ]はガウス記号で切り捨てを意味しています。
２進法で３０桁の最大の整数は、1が３０個ならんだ２進法としての整数です。
それを１０進法で表すと、
\(1^0+2^1+2^2+\cdots+2^{29}=2^{30}-1\)
です。１が３０個ならんでいることと対応がわかるように、０乗や１乗の指数もあえて書きました。
この数の１０進法での桁数は[\(\log_{10}(2^{30})\)+1]で与えられます。
\(x\)を２進法で３０桁の整数とすると、
\(2^{29} \le x \lt 2^{30}\)
と上限と下限が与えられますから、それらの桁数を\(\log\)で計算します。
\(\log_{10}(2^{29})=29 \log_{10}2=8.729\)
\(\log_{10}(2^{30})=30 \log_{10}2=9.030\)
より、それぞれ切り捨てして＋１することで、\(x\)は１０進法では、９桁から１０桁の間の桁数であることがわかります。
（２）
まず、ガウス記号に関する不等式２つ
- \(\displaystyle [A] \le A \lt [A]+1\)
- \(\displaystyle A-1 \lt [A] \le A\)
この不等式でガウス記号をはずすことができます。
さて、桁数を求める公式より、
\(\displaystyle a_n=[ \log_{2} n]+1 \)
ですから
\(\displaystyle \log_{2} n \lt a_n \le \log_{2} n +1 \)
これらは正の実数ですから、逆数をとって
\(\displaystyle \frac{1}{\log_{2} n} \gt \frac{1}{a_n} \ge \frac{1}{\log_{2} n +1} \)
\(\displaystyle \frac{\log_{10}n}{\log_{2} n} \gt \frac{\log_{10}n}{a_n} \ge \frac{\log_{10}n}{\log_{2} n +1} \)
底を10で統一します。
\(\displaystyle \frac{\log_{10}n}{\frac{\log_{10}n}{\log_{10}2 }} \gt \frac{\log_{10}n}{a_n} \ge \frac{\log_{10}n}{\frac{\log_{10}n}{\log_{10}2 } +1} \)
\(\displaystyle \log_{10}2 \gt \frac{\log_{10}n}{a_n} \ge \frac{\log_{10}n}{\log_{10}n+{\log_{10}2 } } {\log_{10}2 } \)
この式から\(n\rightarrow \infty\)で極限値が求められます。
式で等号がつくのかつかないのかあやふやな時は、具体的にな数を当てはめ、確認しながら等号の有り無しを判定し、式を作って行きます。
答え
（１）
９桁または１０桁。
（２）
\(\displaystyle \log_{10}2 \gt \frac{\log_{10}n}{a_n} \ge \frac{1}{1+{\log_{10}2 / \log_{10}n } } {\log_{10}2 } \)
より、
\(\displaystyle \log_{10}2 \ge \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\log_{10}n}{a_n} \ge {\log_{10}2 } \)
\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\log_{10}n}{a_n} = {\log_{10}2 } \)
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