関数\(\sqrt{\tan(x)}\)の積分です。

微分と比較にならないほど積分ははるかに難しいです。

まずは、素敵なウルフラムの計算結果を参照してください。

https://www.wolframalpha.com/input/?i=%E2%88%AB_0%5E%7Bpi%2F4%7Dsqrt%28tan%28x%29%29dx&lang=ja

わずか数秒でこのような計算をしてしまうWolframAlphaに敬意を表します。

WolframAlphaの解答

使用道具

ありとあらゆる公式を駆使します。

  • 置換積分
  • 部分積分
  • 三角関数の公式

関数\(\sqrt{\tan(x)}\)の不定積分

まずは、\(\sqrt{\tan(x)}\)の不定積分を求めます。

見やすくするため、積分定数は省略して書いています。

 

ルートやtanを消す

\(\displaystyle \int{\sqrt{\tan(x)}dx}\)

この積分は三角関数(tan)の積分ですが、、

\(\displaystyle t=\sqrt{\tan(x)} \)で置換積分すると有理式の積分へ変換することができます。

 

両辺を2乗してから\(\displaystyle \frac{dt}{dx}\)を求めると計算が少し楽です。

\(\displaystyle t^2=\tan(x)\)

両辺を\(x\)で微分します。

\(\displaystyle \frac{d}{dx}t^2=\frac{d}{dx} \tan(x)\)

\(\displaystyle 2t \frac{dt}{dx}= \frac{1}{\cos(x)^2}\)

 

\(\displaystyle \cos(x)^2\)

\(\displaystyle \frac{1}{\cos(x)^2}=\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos(x)^2}\)

\(\displaystyle =1+\left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2\)

\(\displaystyle =1+\tan(x)^2\)

\(\displaystyle =1+t^4\)

を使うと、

\(\displaystyle 2t \frac{dt}{dx}=1+t^4\)

\(\displaystyle dx=\frac{2t}{1+t^4}dt\)

となって、元の積分の式は、

\(\displaystyle 2t \frac{dt}{dx}=1+t^4\)

\(\displaystyle dx=\frac{2t}{1+t^4}dt\)

 

\(\displaystyle \int{\sqrt{\tan(x)}dx}\)

 

\(\displaystyle =\int{t \frac{2t}{1+t^4}dt}\)

 

\(\displaystyle =\int{ \frac{2t^2}{1+t^4}dt}\)

ルート記号も、tan記号も消えた積分になりました。

 

有理関数の積分計算

有利関数の積分は、まずできるだけ分母の次数を下げた式に変形します。

次数を下げる方法は、変数置換、部分分数分解が基本のやり方となります。

ここで、\(u=t^2\)と置くと次数が下がって簡単になるような気がしますが、
置換してみると
\(\displaystyle \frac{du}{dt}=2t\)より、\(\sqrt{u}\)という計算式も出現し、せっかく消えたルートが復活でこれではうまくいきません。

また\(t\)の符号判定も面倒です。

 

一見複雑になったように見えますが、ここは部分分数に分解します。

部分分数への展開方法は、地味でひたすら計算するだけですので、ここではその計算過程を書くのは省略し計算結果のみ示します。

\(\displaystyle \frac{t^2}{1+t^4}\)

\(\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{t}{1-\sqrt{2}t+t^2}-\frac{t}{1+\sqrt{2}t+t^2}\right)\)

このように分母が2次の部分分数に分解することができます。

 

後で示す有理関数の積分公式が使えるよう、次のように4つ積分式に分けます。

\(\displaystyle \int \frac{2t^2}{1+t^4} dt\)

\(\displaystyle =\int  \frac{t}{\sqrt{2}(1-\sqrt{2}t+t^2)} dt \)

\(\displaystyle  -\int \frac{t}{\sqrt{2}(1+\sqrt{2}t+t^2)} dt\)

 

\(\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{2}} \int  \frac{ -\sqrt{2}+2y }{1-\sqrt{2}t+t^2} dt \)

\(\displaystyle  +\frac{1}{2} \int \frac{1}{1-\sqrt{2}t+t^2} dt\)

\(\displaystyle  -\frac{1}{2\sqrt{2}} \int  \frac{ \sqrt{2}+2y }{1+\sqrt{2}t+t^2} dt \)

\(\displaystyle  +\frac{1}{2} \int \frac{1}{1+\sqrt{2}t+t^2} dt\)

 

公式が使えるための変形がやっとできました。

次の節で示す公式を使ってさらに計算します。

\(\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{2}} \log|1-\sqrt{2}t+t^2| \)

\(\displaystyle  +\frac{1}{\sqrt{2}}  \tan^{-1}(\sqrt{2}t-1) \)

\(\displaystyle  -\frac{1}{2\sqrt{2}} \log|1+\sqrt{2}t+t^2| \)

\(\displaystyle  +\frac{1}{\sqrt{2}}  \tan^{-1}(\sqrt{2}t+1) \)

壮絶な計算となりましたが、やっとできました。

\(t=\sqrt{\tan(x)}\)を代入すれば不定積分の完成です(積分定数省略)。

log(自然対数)の部分もまとめます。

\(\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left| \frac{1-\sqrt{2}t+t^2}{1+\sqrt{2}t+t^2} \right| \)

\(\displaystyle  +\frac{1}{\sqrt{2}}  \tan^{-1}(\sqrt{2}t-1) \)

\(\displaystyle  +\frac{1}{\sqrt{2}}  \tan^{-1}(\sqrt{2}t+1) \)

 

\(\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left| \frac{1-\sqrt{2\tan(x)}+\tan(x)}{1+\sqrt{2\tan(x)}+\tan(x)} \right| \)

\(\displaystyle  +\frac{1}{\sqrt{2}}  \tan^{-1} \left(\sqrt{2\tan(x)}-1 \right) \)

\(\displaystyle  +\frac{1}{\sqrt{2}}  \tan^{-1} \left(\sqrt{2\tan(x)}+1 \right) \)

 

\(\displaystyle \tan^{-1}(α)+\tan^{-1}(β)=\tan^{-1}\left(\frac{α+β}{1-αβ}\right)\)

を使ってさらにまとめると、最終結論の式

\(\displaystyle \int{\sqrt{\tan(x)}dx}\)

\(\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left| \frac{1-\sqrt{2\tan(x)}+\tan(x)}{1+\sqrt{2\tan(x)}+\tan(x)} \right| \)

\(\displaystyle  +\frac{1}{\sqrt{2}}  \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{2\tan(x)}}{1-\tan(x)} \right) \)

を得ることができます。

 

 

定積分\(\int_0^{π/4}\sqrt{\tan(x)}\)

不定積分の結果を用いて

定積分\(\displaystyle \int_{0}^{π/4} {\sqrt{\tan(x)}dx}\)

を求めてみます。

不定積分の\(x\)に\(π/4\)と\(0\)を代入して差をとればよいです。

\(\displaystyle \tan(π/4)=1\)

\(\displaystyle \tan(0)=0\)

\(\displaystyle \int{\sqrt{\tan(x)}dx}\)

\(\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{2}} \log \left| \frac{1-\sqrt{2\tan(x)}+\tan(x)}{1+\sqrt{2\tan(x)}+\tan(x)} \right| \)

\(\displaystyle  +\frac{1}{\sqrt{2}}  \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{2\tan(x)}}{1-\tan(x)} \right) \)

ですから、

\(\displaystyle \int_{0}^{π/4} {\sqrt{\tan(x)}dx}\)

\(\displaystyle =\left[\frac{1}{2\sqrt{2}}\log \left( \frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} \right)+\frac{π}{2\sqrt{2}} \right]-\left[\frac{1}{2\sqrt{2}}\log(1)+\tan^{-1}(0)\right]\)

\(\displaystyle =\left[\frac{1}{2\sqrt{2}}\log \left( \frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} \right)+\frac{π}{2\sqrt{2}} \right]\)

\(\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{2}}\log \left( \sqrt{2}-1 \right)^2+\frac{π}{2\sqrt{2}} \)

\(\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}}\log \left( \sqrt{2}-1 \right)+\frac{π}{2\sqrt{2}}\)

注意

\(\displaystyle \tan^{-1} \left(\frac{\sqrt{2\tan(x)}}{1-\tan(x)}\right)\)

に\(x=π/4\)を代入すると、分母が0になってしまうので調整が必要ですが、

ここでは、\(x=0,π/4\)の間の値を考えているので、

\(\displaystyle \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{2\tan(x)}}{1-\tan(x)}\right)=\frac{π}{2}\)としています。

分母が2次の有理関数の積分

分母が2次式である有理関数の積分は、次の2つの形の組み合わせで解きます。

タイプA

\(\displaystyle =\frac{2ax+b}{ax^2+bx+c}\)

という形の分母2次式、分子1次式です。

タイプAの形の場合、次のように積分できます。

\(\displaystyle  \int \frac{2ax+b}{ax^2+bx+c}\)

\(\displaystyle  =\log |{ax^2+bx+c}|\)

タイプB

\(\displaystyle \frac{d}{ax^2+bx+c}\)

(ただし\(\displaystyle b^2-4ac<0\))

という形の分母2次式、分子定数です。

タイプBの場合は、逆三角関数がでてきます。

\(\displaystyle \int\frac{d}{ax^2+bx+c}\)

\(\displaystyle =\int\frac{d}{a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}}\)

\(\displaystyle =  \frac{2d}{\sqrt{4ac-b^2}}\tan^{-1}\left(\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}\right)\)

公式としては覚えにくい形ですが、

\(\displaystyle \int\frac{1}{x^2+1} =  \tan^{-1}(x)\)

の基本形を知っていれば変数変換で得られます。