早稲田大学教育ー数列の極限を求める問題と解き方

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問題

\(\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}|x-1|\)とする。
xを実数とし、
\(x_1=f(x),\\x_2=f(x_1),\\\cdots,\\x_n=f(x_{n-1})\)
とするとき、数列
\(\{x_n\}\)
が収束するようなxの範囲とそのときの
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} x_n\)
を求めよ。

 

 

 

解き方

まず、関数に絶対値が入っていて扱いにくいのでxの反映で場合分けして絶対値のない定義で書き表します。

 

x>1のとき

\(\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}(x-1)\)

\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x+1\)

 

x≦1のとき

\(\displaystyle f(x)=x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(x-1)\)

\(\displaystyle f(x)=\frac{3}{2}x\)

となる。

まとめると数列{x_n}は、

\begin{eqnarray}
x_{n+1} =
\begin{cases} \displaystyle \frac{3}{2}x_n & ( x_n \le 1 ) \\
\displaystyle \frac{1}{2}x_n+1 & ( x_n \gt 1 )
\end{cases}
\end{eqnarray}

と定義される。

 

 

解答

 

（１）1<xの時

1<x_nであるから、\(\displaystyle x_{n+1}=\frac{1}{2}x_n+1\)と考えて良い。

このとき、

\(\displaystyle x_{n+1}-2=\frac{1}{2}(x_n-2)\)
より、\(x_n -2\rightarrow 0\)
であるから、\(x_n \rightarrow 2\)

 

（２）0＜x≦1の時

最初の項に対しては、x_n≦1であるから、

\(\displaystyle x_{n+1}=\frac{3}{2}x_n\)の関係でx_nは決まっていく。

x_nは単調に増加していき、ある時点から1を超える。

そこからさきは、\(\displaystyle x_{n+1}=\frac{1}{2}x_n+1\)に則ってx_nは決まっていくから、

結局は（１）の場合に帰着して、

\(x_n \rightarrow 2\)

となる。

 

 

（３）x=0の時

 

x=0である場合は、任意のnに対して、

\(\displaystyle x_{n}=0\)

よって、

\(x_n \rightarrow 0\)

となる。

 

（４）x＜0の時

任意のnにたいして、x_n＜0であるから、

\(\displaystyle x_{n+1}=\frac{3}{2}x_n\)の関係でx_nは決まっていく。

 

これは、公比3/2の等比数列であるから、発散する。

 

上記の場合分けをまとめると、

答え
０≦xの時に収束し、

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} x_n=2\; (0<xの時)\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} x_n=0\; (x=0の時)\)

である。

 

 

 

 

 

コメント

 

x>1のとき

\(x_{n+1}=\frac{1}{2}x_n+1 \)

x≦1のとき

\(x_{n+1}=\frac{3}{2}x_n \)

と勘違いすると収束するxの範囲を間違えてしまう。

 

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猫野の解析は

鉄則微分・積分
をテキストとして使っています。

鉄則ゼミ７の問題を解いています。