[msg#wsiki]
問題
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \log_e{\frac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}}\)
（nは正の整数）を求めよ。
解答（解き方）
微分を使えば、極限値が求められます。
この考え方は、極限を求める時の強力な武器です。この考え方を応用すると極限を求める公式としては最強ともいえる、ロピタルの定理(のコア部分)が証明(詳しくはWikipadiaで解説)されます。
ロピタルの定理は、あまりにも強力すぎて、試験では封印されるほどです。
ロピタルの定理を使わなくても、この原理を理解していれば、ロピタルの定理を(表向きには)使わないで、形式的に極限を求めるパターンができあがります。
この方法で極限を求める場合、
求めたい極限がどんな関数の極限（微分係数）になっているのかを考えます。
この場合は、
\(\displaystyle f(x)=\log_{e}{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}\)
とおくと、
\(f^{\prime}(0)\)（x=0の微分係数が）が求める極限値と同じであることがわかります。
\(f(x)\)の微分が求められれば、答えが簡単に求められます。
問題はどうやって、\(f(x)\)を見つけるかですが、\(x\rightarrow 0\)の形であれば、分母を\(x\)とし、分子の形からある程度推測できます。
公式
\(\displaystyle (e^x)^{\prime}=e^x\)
\(\displaystyle (log_e{x})^{\prime}=\frac{1}{x}\)
\(\displaystyle (f(g(x)))^{\prime}=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)\)
\(\displaystyle 1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}\)
答え
\(\displaystyle f(x)=\log_{e}{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}\)
とおくと、
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \log_e{\frac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}}\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{( \log_e{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx} )- \log_e{n}}}{x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ f(x) -f(0)}{x-0}\)
\(=f^{\prime}(0)\)
\(\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{e^x+2e^{2x}+\cdots+ne^{nx}}{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}\)
であるから、
\(\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{n(n+1)}{2n}\)
\(\displaystyle =\frac{n+1}{2}\)
答え \(\displaystyle \frac{n+1}{2}\)
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その他の問題： 関数の極限に関する問題 数列の極限の問題一覧 数列の極限に関する問題２
