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問題

 

\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x} \left( 0 < x < \frac{\pi}{2}\right)\)
の最小値を求めよ。

 

 

 

解答（解き方）

微分の計算がややこしいですが、普通に極値をもとめ、グラフから最小値を求める問題です。

 

\( \sin xと \cos x\)の対称式は、\( t = \sin x + \cos x \)とおく

この問題のように、\( \sin x, \cos x\)の対称式である場合には、
\( t = \sin x + \cos x \)とおくことで、有理式の問題に帰着できます。

なぜなら、

\( t=\sin x + \cos x, s=\sin x \cos x\)とおくと、
\( \sin x, \cos x\)の対称式は、tとsの式で表すことができますが、

\(\displaystyle s= \frac{1}{2}( (\sin x + \cos x )^2-1 ) =\frac{t^2-1}{2}\)
であるため、\(s\)が\(t\)の式で表すことができ、
もとの対称式がtだけの式に変形できるからです。

 

三角関数の公式

\(\displaystyle (\sin x)’ = \cos x \)

\(\displaystyle (\cos x)’ = -\sin x \)

\(\displaystyle \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin \left( x+ \frac{\pi}{4} \right) \)

 

\( t = \sin x + \cos x \)とおくと、

\(x\)の定義域から、

\(\displaystyle 1 < t ≦ \sqrt{2} \)で

\(\displaystyle f(x)= \frac{\cos x + \sin x}{ \sin x \cos x}\)

\(\displaystyle = \frac{2t}{t^2-1} \)

\(g(t)=\frac{2t}{t^2-1}\)とおくと、\(g(t)\)の最小値が\(f(x)\)の最小値と同じになります。

 

\(\displaystyle g'(t)= \frac{2(t^2-1)-2t(2t)}{(t^2-1)^2}\)

\(\displaystyle = -\frac{2(t^2+1)}{(t^2-1)^2}<0\)

よって、\(g(t)\)は単調減少関数。

 

最小値は、\(t\)の定義域から\(t=\sqrt{2}\)の時でそのとき、

\(g(\sqrt{2})=2\sqrt{2}\)

 

答え

最小値　\(2\sqrt{2}\)

 

 

 

 

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その他の問題：　関数の極限に関する問題　数列の極限の問題一覧　数列の極限に関する問題２

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