本当に「1=0.999…」でよいのか？

実数の定義もままならないのに、「1=0.999…」を主張する人がたくさんいます。

よくある「1=0.999…」の証明その１

\(0.333…＝\frac{1}{3}\)
である。

両辺を３倍する。

\(0.333…*3=\frac{1}{3}*3\)
\(0.999…=\frac{3}{3}=1\)

∴0.999…=1
(証明終わり)

なるほど、小学生にもわかる証明です。

しかし、\(0.333…*3=0.999…\)の証明があやふやだと思います。

無限に続く小数の掛け算をどこで習ったのでしょうか？小学校で習ったのでしょうか？

ひょっとして、0.333…のそれぞれの位に３を掛けたのではないでしょうか？

たまたま各位のの数が小さかったので桁上りが発生せずにうまく計算できたかのように見えますが、それこそが証明すべき内容であったのではないですか。

 

よくある「1=0.999…」の証明その２

1-0.999…=0.000…=0である。1-0.999…=0から0.999…を右辺に移行して

1=0.999…
(証明終わり)

これも、その１と同じく、無限小数の引き算を１の位からやったように思えます。1-0.999…=0.000..は
いったいどのような過程を経て得られたのでしょうか？

\(0.000…=0\)についても、0.000…がなにを意味しているのか定義なしにつかっていますが、まあ、百歩ゆずってこれは認めましょう。0は何個つけたしても0なので。しかし1-0.999…=0.000..は問題ですね。

まあ、わからなくはないですよ、でも、それを証明することと0.999…=1を証明するのとは同じことじゃないですか？

問題をちょっとべつの書き方にしたのはわかりますが、証明されていない別の書き方に変形しただけで、もとの命題が証明されたみなせるでしょうか？

この証明は、証明すべき内容を使って証明したようなものだとみなせます。

よくある「1=0.999…」の証明その３

x=0.999…　・・・(式1)とおく。

10x=9.999… ・・・(式2)であるから、(式2)-(式1)より

9x=9
∴x=1
(証明終わり)

変数xを使っていますが、その１、その２と同様に9.999…-0.999…=9の証明がないです。

この証明が肝心要でしょう。また、(式2)をつくるために右辺は、0.999…*10=9.999…を使っています。

無限小数の掛け算を使うのを避けるため、ある数を10倍するのは、桁を左に移動すると求められるという性質（公式？）をつかったのだと思います、しかしそれを証明なしに使うのはゆるされないでしょう。

 

よくある「1=0.999…」の証明その４

高校生ぐらいになると、級数の和としてこの問題を捉えるようになります。

つまり、0.999…は、初項0.9で公比1/10の等比数列の和であるから、等比数列の和の公式つかって、

\[0.999…=\frac{0.9}{1-1/10}=1\]
(証明終わり)

お！これは0.999…を定義してからの証明です。きちんと問題の意味を明確にして証明に踏み込んでいます。すばらしいですね。

等比数列の和の公式は学校でならいますし、それが間違っているはずないですね。

さて、0.999…の定義は飲み込みましょう。問題にその定義は書かれていないわけですし、いまさらそんな意味で0.999…を書いたわけじゃないよと反駁するのは、じゃんけんで負けたあとに、じゃんけんのルールを変更して勝ちにするようなものです。反則です。

しかしですよ、この証明の完成度が本当に正しいのか、等比数列の和の公式証明をする必要がありますよね。

ひょっとして、その証明に
\[\lim_{n→∞} \left(\frac{1}{10}\right)^n=0\]
という公式を使ってませんか？

問題はそこです。公式の証明に極限操作のマジックが使われています。極限操作はマジックなのです。

なぜなら無限の操作に関することですから。0でないものが極限をとると0になってしまう、とんでもない性質をもっているのです。つまり、極限操作は等しくないものを等しくしてしまうマジックを生み出すのです。

ここまでくると、問題の意味がやっと明らかにみえてきます。問題は極限操作の意味解釈です。

問題の意味を取り違えてる人や漠然と捉えてる人との間で証明した、できたといっても話が噛み合いませんよね。

この問題に取り組むためには、極限操作について共通の認識を確認しあう必要があります。

 

まとめ

さて、まとめです。結論はどうなんだ？と指摘がきそうです。等しいのか等しくないのかはっきりしろ！いったい、なにがいいたいのか？

0.999…について、これはいったいなんなんだということです。これは数というより、ある極限の式です。その極限の値は、この場合収束しある実数を表しています。通常の実数の定義に遡ってかんがえると、この極限の値は１です。

しかし、0.999…を極限式（の値）と見てる人はそういないと思います。無限小数は極限の式の値です。式の値と式に使われている数列は別ものです。

極限は魔物です。いつどんでん返しがあるかわかりません。極限の意味が変われば0.999…の意味も変わります。その日にはその極限値が1にならない実数が登場する可能性はあります。

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