数列の四則演算を活用して数を作る

それでは、新しい実数を作っていきます。既存の実数を使い、それを拡張する方法で作ります。

数列を母体にする

数列から新しい実数を作ります。ある数列の一つを{a_n}のように中括弧でくくって表現します。

{a_n}:=a₁,a₂,a₃,…

です。aはこの数列の名前です。nが添字で自然数が対応します。

煩わしかったり、混乱がなければこの数列を単に{a}と添字を省略して書くこともあります。

また、数列{a_n}の各項は実数としておきます。

S:={{a_n}|　{a_n}は 数列で、a_nは実数}

このSが新しい実数の母体となります。

この数列の集合を、短く数列群と呼びます。

 

数列に演算を定義する

数列には四則演算が定義できます。といっても、普通の体のようにはなりません。ここは重要な所で見過ごせないところなのですが、まずはできるところまで数の構築を進めます。

二つの数列{a_n},{b_n}に対し、その和、差、積を下記のように定義します。

{a_n}+{b_n}:={a_n+b_n}

{a_n}-{b_n}:={a_n-b_n}

{a_n}*{b_n}:={a_n**b_n}

{a_n+b_n}とは、第n項がa_n+b_nである数列を意味します。普通に使われている記号なので特に断りなく使用しました。つまり、二つの数列の各項をそれぞれ、足したり、引いたり、掛けたりすると新しい数列が定義できるのでそれらを和、差、積として使うわけです。

商に関しても同じようにしますが、各項の中に０があるとその項では割り算ができないため、ちょっと条件が追加になります。

{a_n}/{b_n}:={a_n/b_n}　ただし、b_n ≠0とする。

ゼロを項に含まない数列だけに対して割り算（逆元）を定義し商を作ります。

各項については実数ですから、数列の演算に対しても、交換、結合、分配の法則が引き継がれることは簡単に示せます。

これで、この数列群に四則演算が定義できました。

ただし、除算に関しては実数と違っています。

実数で割り算ができないのは、０だけですが、数列群では項の中に一つでも０がある数列は除算ができません。

数列群では、割り算ができない数列が無限にある事になります。

 

数列の四則演算例

a_n=5,6,7,8,9,…

b_n=2,4,6,8,10,…

(nは自然数)

とします。

式でかくと、

{a_n}={n+4}、{b_n}={2n}

です。

この二つの加減乗除は下記のように計算されます。

和：{a_n}+{b_n}={3n+4}=7,10,13,16,…

差：{a_n}-{b_n}={-n+4}=3,2,1,0,…

積：{a_n}*{b_n}={2n²+8n}=10,24,42,64,…

除：{a_n}/{b_n}={1/2+2/n}=5/2,3,7/6,1,…

です。

数列群は四則演算が定義できますね。ただし、0以外のゼロ因子が多数(無限個)あります。

 

まとめ

数列{a},{b}に対して四則演算が定義できる。

• {a}+{b}={a+b}
• {a}-{b}={a-b}
• {a}*{b}={a*b}
• {a}/{b}={a/b} （ただし{b}のすべての項は0でない）

 

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