0.999…=1の証明はゴマンとあるのに、0.999…≠1の証明は全然見当たらない。

たまに、超実数だと云々と書かれているだけで、その超実数がなんなのか明確にして説明しているのをみたことがない。

=1と≠1の両者の式の意味がわかってこそ、=1の意味がよくわかるというものである。

たしかに、0.999…≠1の証明(というよりそうなる数の体系)を作るのはそうとう大変な道のりである。いわゆる普通の実数では無理なので、それにかわる実数を作らなければならない。

これからそこに挑戦するわけである。つまり新しい実数を作ることになる。

かなり長い道のりといえば大げさだが、土台を崩していくわけだから、相当の試練の道である。

 

実数として満たすこと

なにがあれば実数とみなせるか。

(1)四則演算ができる、いわゆる体の構造を持っている

(2)大小関係が定義できす。全順序集合である。

以上であるが、ここではさらに

(3)級数の定義ができる

にまで踏み込んで考えていこうと思う。

前提条件として使うのは、有理数、実数の数は既知の数として利用する。

※できれば有理数だけから新しい実数を作りたいのだが、最初はいろいろ不都合がでてくることが予想されるので、実数の性質も使いながら新しい数を定義する。