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問題

次の関数の増減・極値と凹凸を調べ、グラフをかけ。

（１）\(\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)^2}{x^2+1}\)

 

 

（２）\(\displaystyle f(x)=\frac{x}{\log x}\)

 

 

解答（解き方）

グラフは、微分の応用の最高峰です。

微分を計算することで、関数のグラフの概略がわかり、またグラフから最大値・最小値を把握することができます。

特に、公式を使えば微分が求めれる関数ですので、微分し極値を求めていきます。

極値を求めるために方程式を解く必要があります。ここがすんなり求められないと難しくなります。

凹凸も調べるため、微分は２回行います。

 

商の微分公式

\(\displaystyle \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)^{\prime} = \frac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{g(x)^2}\)

 

増減の判定

  • f'(x)＝０の場合、極値
  • f'(x)＞０の場合、(狭義の意味で)単調増加
  • f'(x)＜０の場合、(狭義の意味で)単調減少

 

凹凸（上に膨らんでいるか下に膨らんでいるか）の判定

  • f”(x)=0の場合、変曲点（上に凸から下に凸に変わる、もしくは下に凸から上に凸に変わる点）
  • f”(x)>0の場合、下に凸(∪)
  • f”(x)＜０の場合、上に凸(∩)

 

 

（１）

まず、与えられた関数を微分します。

 

\(\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{2(x-1)(x^2+1)-(x-1)^2(2x)}{(x^2+1)^2}\)

\(\displaystyle =\frac{  (2x^3+2x-2x^2-2) –  (2x^3-4x^2+2x)    }{(x^2+1)^2}\)

\(\displaystyle =\frac{  2x^2-2      }{(x^2+1)^2}\)

\(\displaystyle =\frac{  2(x-1)(x+1)      }{(x^2+1)^2}\)

うまく、導関数が因数分解できる関数でした。

\(\displaystyle x=-1,1\)で極値を取ります。

さらに微分します。

\(\displaystyle f^{\prime \prime}(x)=\frac{   4x(x^2+1)^2 -(2x^2-2)(2(x^2+1)2x)   }{(x^2+1)^4}\)

\(\displaystyle =\frac{   4x(x^2+1) -(2x^2-2)(4x)   }{(x^2+1)^3}\)

\(\displaystyle =\frac{  – 4x^3+12x    }{(x^2+1)^3}\)

\(\displaystyle =\frac{  – 4x(x^2-3)    }{(x^2+1)^3}\)

こちらもうまく因数分解できました。

\(\displaystyle x=0,-\sqrt{3},\sqrt{3}\)で変曲点を取ります。

増減表を書くと

\(x\) -\(\infty\) \(-\sqrt{3}\) -1 0 1 \(\sqrt{3}\) \(\infty\)
\(f(x)\) 1   \(
\nearrow\)		 2 \(
\searrow\)		 0    \(
\nearrow\)		  1
\(f'(x)\) + 0 – 0 +
\(f”(x)\)  + 0 – 0 + 0 –

±∞のところも極限値も求められるので計算し正確なグラフにします。

 

 

 

（２）

logの真数条件から定義域は暗に\(0<x\)です。

\(\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{\log x – x (1/x)x}{(\log x)^2}\)

\(\displaystyle =\frac{\log x -1}{(\log x)^2}\)

\(x=e\)で極値を取ることがわかりました。

 

\(\displaystyle f^{\prime \prime}(x)=\frac{(1/x) (\log x)^2 – (\log x -1)((2{\log x})(1/x)}{(\log x)^4}\)

\(\displaystyle =\frac{ \log x /x- 2(\log x -1)/x} {(\log x)^3}\)

\(\displaystyle =\frac{ – \log x +2} {x(\log x)^3}\)

\(x=e^2\)で変曲点を取ることがわかりました。

分母がゼロにならない点を考えることも必要ですが、分母の符号も気にする必要があります。

 

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +0}\frac{x}{\log x}=0\)

となることも計算しておきます。

 

増減表を書くと

\(x\) 0  1 1 e e e^2 \(\infty\)
\(f(x)\) →0 \(
\nearrow\)		 未 \(
\searrow\)		 0 \(
\nearrow\)		 1
\(f'(x)\) – 未 – 0 +
\(f”(x)\) – 未 + 0 –

※未：定義されない（未定義）

 

答え

 

（１）

\(\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{  2(x-1)(x+1)      }{(x^2+1)^2}\)

\(\displaystyle f^{\prime \prime}(x) =\frac{  – 4x(x^2-3)    }{(x^2+1)^3}\)

 

グラフ
グラフtz030_1

 

 

（２）

\(\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{\log x -1}{(\log x)^2}\)

\(\displaystyle f^{\prime \prime}(x)=\frac{ – \log x +2} {x(\log x)^3}\)

グラフ
グラフ

 

 

 

 

 

 

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その他の問題：　関数の極限に関する問題　数列の極限の問題一覧　数列の極限に関する問題２

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