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問題

ABを直径とする半径1の半円周上の動点をP,Qとする。

AP=PQを満たす四角形APQBの面積の最大値とそのときのBQの長さを求めよ。

 

解答(解き方)

四角形APQBの面積をなんらかのパラメータを使って表し、パラメータがどの値の時に最大値となるかを考えます。

この問題の場合、(半)円の中心をOとして、角POAをθとした時に、θで面積を表すと簡単な式が得られます。

 

簡単といっても、三角関数を使うので、ある程度の計算力は必要ですが、長さをパラメータにして面積を表すのにくらべると、格段にシンプルな式となります。

 

三角形の面積の公式

三角形ABCがあって、角ABCをθとすると、三角形ABCがの面積Sは、

\(\displaystyle S=\frac{1}{2} \overline {AB} \, \overline {BC} \sin θ\)

2辺の長さとその挟む角のsinで面積が求められるわけですね。

 

この公式を使うと、

四角形APQBの面積をSとするとSは、

三角形AOP+三角形POQ+三角形QOBですから、

半径=1であることから

\(\displaystyle 1=\overline{AO}=\overline{OP}=\overline{QO}=\overline{OQ}\)

に注目すれば、

\(\displaystyle S=\frac{1}{2} \sin θ + \frac{1}{2} \sin θ + \frac{1}{2} \sin ({\pi-2θ})\)

\(\displaystyle = \sin θ + \frac{1}{2} \sin {2θ}\)

 

したがって、

\(\displaystyle 0<θ<\frac{\pi}{2}\)

の範囲でSの最大値を求めれば、答えが得られます。

ここまでくれば、あとは微分の問題となります。

微分して、極値をもとめ、最大値を導き出します。

Sをθで微分すると、

\(\displaystyle S’=\cos θ+ \cos{2θ} \)

\(\displaystyle S’=\cos θ+ 2\cos^2{θ}-1 \)

倍角の公式を使っています。

\(\displaystyle \cos 2θ\\
= \cos^2 θ-\sin^2 θ \\
=2 \cos^2 θ-1\\
=1-2 \sin^2 θ\)

\(\displaystyle S’=(2\cos θ-1)(\cosθ+1) \)

うまい具合に因数分解できます。

ここで因数分解できないと、迷宮入りしてしまうのですが、

問題の図から、直感的に

\(\displaystyle θ=\frac{\pi}{3}\)

のときに最大になりそうだとあたりを付け、

\(\cos \frac{θ}=\frac{1}{2}\)の因数を持つだろうという予測をヒントにできます。

増減表を書くと

θ 0 \(\displaystyle \frac{\pi}{3}\) \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\)
\(\displaystyle \frac {dS}{dθ}\) + 0
S 0 増加 極大\(\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}\) 減少 0

よって、\(\displaystyle Sは、 θ=\frac{\pi}{3}\)の時に最大となる。

\(\displaystyle S=\sin \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

このとき、三角形QOB、は正三角形となるので、BQ=1となります。

 

答え

四角形APQBの最大面積は、\(\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{4}\)

そのときのBQの長さは1

 

 

 

 


 

 

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