相加相乗平均の行列式版の関係

\(A, B \in M_n\) が正定値行列であるとき、次の不等式が成り立つ。

\[ \sqrt{\det(AB)} \le \det\left(\frac{A + B}{2}\right) \]

等号成立は \(A = B\) の場合に限る。この不等式は行列式に対する算術平均・幾何平均不等式と考えることができる。