解析

問題関数\(\displaystyle f(x)=3( \sin x - \cos x) + \cos{2x}\)の最大値を求めよ。解答（解き方）\(\sin x と \cos x\)の対称式ではありませんが、すこし工夫すると対称式の問題と...

問題\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x} \left( 0 < x < \frac{\pi}{2}\right)\)の最小値を求めよ。解答（解き方）微分の計算がややこし...

問題曲線\(y=3 \log x\)の上の２点\(P,Q\)の\(x\)座標をそれぞれ\(a,b\)とし、\(a<b\)とする。\(P,Q\)におけるこの曲線の２つの接線のなす鋭角が45°で、\(a,b\)がともに整数であるとき、\(a,b...

問題点Pから曲線\(y=\sin^2 x (0≦x≦\pi)\)に引いた２つの接線が直行するように点Pの座標を定めよ。解答（解き方）問題をぱっと読むと、求めるPは複数（無限）にあるように思えますが、Pは１つの点に限定されるのでしょうか？よく...

問題関数\(f(x)=x+a \cos x (a>1)\)は、0<x<2πにおいて極小値0をとる。このとき、この範囲における極大値を求めよ。解答（解き方）関数のグラフがどのような形になるのかある程度把握しないと、とっつきにくい問題です。y=...

問題次の関数の増減・極値と凹凸を調べ、グラフをかけ。（１）\(\displaystyle f(x)=\frac{(x-1)^2}{x^2+1}\)（２）\(\displaystyle f(x)=\frac{x}{\log x}\)解答（解き...

問題次の極限値を求めるのに、ロピタルの定理をあてはめて確かめてみよ。（１）\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^2} \)（２）\(\displaystyle \l...

問題\(g(x)\)は連続関数（微分可能でとは限らない）で\(g(0)=1\)とする。\(\displaystyle f(x)=\frac{x}{g(x)+2}\)とするとき、\(f^{\prime}(0)\)を求めよ。解答（解き方）\(x...

問題\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \log_e{\frac{e^x+e^{2x}+\cdots+e^{nx}}{n}}\)（nは正の整数）を求めよ。解答（解き方）微分を...