[msg#wsiki]

 

問題

関数

\(\displaystyle f(x)=3( \sin x – \cos x) + \cos{2x}\)

の最大値を求めよ。

 

 

 

解答（解き方）

\(\sin x と \cos x\)の対称式ではありませんが、すこし工夫すると対称式の問題として考えることができます。

その工夫とは、２乗することです。

 

公式

\(\cos {2x} = \cos^2 x – \sin^2 x\)

 

\(t=\sin x + \cos x\)のとき、

\( 2 \cos x \sin x  = (\sin x + \cos x)^2 -1=t^2-1\)

\((\cos x-\sin x)^2 = 1-2\cos x \sin x=2-t^2 \)

 

\(\displaystyle f(x)=3( \sin x – \cos x) + \cos^2 x – \sin^2 x\)

\(\displaystyle =( \sin x – \cos x)(3-( \cos x + \sin x))\)

 

\(t= \sin x + \cos x\)とおくと

\(\displaystyle (f(x))^2=( \sin x – \cos x)^2(3-t)^2\)

\(\displaystyle =(2-t^2)(3-t)^2\)

 

したがって、

\(\displaystyle g(t)=(2-t^2)(3-t)^2\)

の最大値をもとめればよい。

 

ただし、\(-\sqrt{2}≦t≦\sqrt{2}\)

 

\(g'(t)=-2t(3-t)^2-(2-t^2)2(3-t)\)
\(=(3-t)(-6t+2t^2 -4+2t^2)\)
\(=-2(t-3)(2t^2 -3t-2)\)
\(=-2(t-3)(2t+1)(t-2)\)

 

\(-\sqrt{2}≦t≦\sqrt{2}\)に注意して増減表を書くと

t \(-\sqrt{2}\) \(\displaystyle -\frac{1}{2}\) \(\sqrt{2}\)
\(g'(t)\) + 0 –
\(g(t)\) 0 ↗ \(\displaystyle \frac{343}{16}\) ↘ 0

 

したがって、\(t=-1/2\)のときに、g(t)は最大値\(\displaystyle \frac{343}{16}\)をとる。

 

\(t=-1/2\)のときに、\(f(x)=\frac{7\sqrt{7}}{4}\)となる\(x\)が存在するので、

\(f(x)\)の最大値は、\(\frac{7\sqrt{7}}{4}\)

 

※\(t=-1/2\)のときに、\(f(x)=-\frac{7\sqrt{7}}{4}\)とならない事(つまり\(f(x)\)の最大値であって最小値ではない事)を示す必要があります。

 

 

答え

\(\frac{7\sqrt{7}}{4}\)

 

 

 

 

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その他の問題：　関数の極限に関する問題　数列の極限の問題一覧　数列の極限に関する問題２

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