確率の計算方法

確率を計算する原理は、

{起こりえる事象の件数}/{すべての事象の件数}

つまり、ひとつの事象を点で表すとすると、点の個数と、点の個数の比です。

有限の発生事象であれば、点の個数は有理数ですから、確率は有理数になります。

確率が無理数になる例

モンテカルロ法による円周率の計算

一辺が2の正方形に内接する円を考えます。

無作為に正方形から点を選択した場合、それが円の内側になる確率をもとめたらどうなるでしょうか?

 

正方形の面積は、4です。

円の面積は、πです。

したがって、正方形から無作為に点を選んだときに円の内部になる確率は、π/4

というのが、模範解答でしょう。

実際、正方形に座標を割り当てて、座標を無作為に選んで円の中にあるかどうかをシミュレーションしてみますと、試行回数を増やしていくにつれ、π/4に近づいていきます。

2つの自然数が互いに素となる確率

二つの自然数が互いに素である確率を求める問題がある。

そうとうな難問であるが、それがある意味

6/π2≒0.6

で表されています。無理数ですね。

確率が無理数になる場合、そこには無限が潜んでします。

正方形から点を選ぶ方法は無数にあります。

二つの自然数を取り出す方法は無数にあります。

無数な事象の比であるから無理数になるわけです。

 

無限が絡む確率

無限とは魔物です。無限がからむと理不尽と思える現象が発生します。無限がからんだ確率は逆説を産みます。

それがベルトランの逆説に現れてるわけです。

確率が無理数であった場合、その確率をどのようにして計算したのかを知らなければ、その確率の意味は分かりえません。