問題

正三角形ABCの辺AB上の1店をP1とする。P1から辺BCへ下ろした垂線の足をQ1、Q1から辺CAに下ろした垂線の足をR1、R1から辺ABへ下ろした垂線の足をP2として、P2からさらに同じ操作を繰り返してQ2、R2、P3、Q3、R3、…とする。

n→∞のとき、Pnはどの点に近づくか。

 

解き方

APnの長さをXnとし、数列Xnがどのような長さに近づくか調べます。

三角形ABCが正三角形であるので、

三角形、PnBQn、QnCRn、RnAPn+1は、辺の長さが2:1:√3の直角三角形です。

 

これから、APn、BQn、CRnはわりと簡単に求められます。

 

正三角形の一辺の長さをaとします。

APn=xnとすると

PnB=a-xn

三角形の比から

BQn=(a-xn)/2

これから

CRn=QnC/2=(a-BQn)/2=(a+an)/4

APn+1=RnA/2=(a-CRn)=(3a-xn)/8

以上より、xn+1=(3a-xn)/8

という漸化式(隣接2項間)が得られました。

この漸化式からxnの極限をもとめれば、Pnの位置がわかります。

 

解答

APnの長さをXnとすると、

\(AP_n\)の長さを\(x_n\)とすると、

\(\displaystyle x_{n+1}=\frac{3a-x_n}{8}\)である。

これを変形すると、

\(\displaystyle (x_{n+1}-\frac{a}{3})=-\frac{1}{8}(x_{n+1}-\frac{a}{3})\)

数列\(\displaystyle \{x_{n}-\frac{a}{3}\}\)は、

初項\(\displaystyle x_{1}-\frac{a}{3}\)、公比\(\displaystyle -\frac{1}{8}\)の等比数列だから、

一般項は、

\(\displaystyle x_{n}-\frac{a}{3} = \left(x_1-\frac{a}{3}\right) \left(-\frac{1}{8}\right)^{n-1}  \)

上記の数列は0に収束するから

\(\displaystyle x_{n}-\frac{a}{3} \rightarrow 0\)

 

すなわち、

\(\displaystyle x_{n}\rightarrow \frac{a}{3} \)

 

よって、点PnはABの3等分点でAに近い方の点に近づく。

 

 

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