[msg#wsiki]
問題
底辺\(a\)、高さ\(h\)の二等辺三角形がある。
（１）この三角形の内接円の半径\(r\)を\(a,h\)を用いて表わせ。
（２）\(n\)が0でない整数で、\(ah^n=1\)をみたしながら、\(a,h\)が変化するときに、
\(\displaystyle \lim_{a \rightarrow \infty} \frac{r}{a}\)を求めよ。
（名古屋大）
解答（解き方）
（１）
内接円の半径を求める問題は、三角形の面積から求めるのが定番です。
内接円の半径を\(r\)、三角形の３辺の和を\(s\)とすると、その三角形の面積は、内接円の中心と頂点を結んでできた線で分割して考えると、\(\frac{1}{2}sr\)で表されます。
（２）
ちょっと、わかりにくく、勘違いしそうですが、nは定数です。つまりnは動きません。
求める極限の式には\(a\)が使われているので、\(h\)を消去することを考えます。
\(h=(\frac{1}{a})^{1/n}\)
を極限の式に代入すると、
\(\displaystyle \lim_{a \rightarrow \infty} \frac{r}{a}\)
\(\displaystyle =\lim_{a \rightarrow \infty} \frac{h}{a+\sqrt{a^2+4h^2}}\)
\(\displaystyle =\lim_{a \rightarrow \infty} \frac{(\frac{1}{a})^{1/n}}{a+\sqrt{a^2+4(\frac{1}{a})^{2/n}}}\)
\(n=1\)だと、比較的簡単ですが、nが追加さえていることでいろいろなケースを考える必要がでてきます。
計算がしにくい場合は、\(n=1,-1,2,-2\)あたりで練習してから取り掛かるとよいかと思います。
ともかく、上記の式は不定形の形ですので、aで分子、分母を割ってくずします。
\(\displaystyle \lim_{a \rightarrow \infty} \frac{\frac{1}{a}(\frac{1}{a})^{1/n}}{1+\sqrt{1+4\frac{1}{a^2}(\frac{1}{a})^{2/n}}}\)
\(\displaystyle \lim_{a \rightarrow \infty} \frac{(\frac{1}{a})^{(n+1)/n}}{1+\sqrt{1+4(\frac{1}{a^2})^{(n+1)/n}}}\)
つい、nを∞にしたくなるような式ですが、問題はそうではないので、注意します。
n>0の場合とn<-1の場合で、\((\frac{1}{a})^{(n+1)/n}\)の行き先が変わるので場合分けします。
\(\displaystyle \lim_{a \rightarrow \infty} \frac{r}{a}\)
\(\displaystyle =\lim_{a \rightarrow \infty} \frac{(\frac{1}{a})^{(n+1)/n}}{1+\sqrt{1+4(\frac{1}{a^2})^{(n+1)/n}}}\)
n>0の場合：
\((\frac{1}{a})^{(n+1)/n} \rightarrow 0\)なので、
\(\displaystyle \lim_{a \rightarrow \infty} \frac{r}{a}=0\)
n=-1の場合：
\((\frac{1}{a})^{(n+1)/n} \rightarrow 1\)なので、
\(\displaystyle \lim_{a \rightarrow \infty} \frac{r}{a}=\frac{1}{1+\sqrt{5}}\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{5}-1}{4}\)
n<-1の場合：
\(\displaystyle \lim_{a \rightarrow \infty} \frac{r}{a}\)
\(\displaystyle =\lim_{a \rightarrow \infty} \frac{(\frac{1}{a})^{1/n}}{a+\sqrt{a^2+4(\frac{1}{a})^{2/n}}}\)
分子は０に、分母は無限大に大きくなるので、この極限値は０です。
このあたりは、具体的にn=-2,-3などで試してみるとよいと思います。
答え
（１）
二等辺三角形の底辺でない方の辺の長さは、
\(\displaystyle \sqrt{\frac{a}{2}^2+h^2}\)で計算できるので、３辺の和は、
\(\displaystyle 2\sqrt{\frac{a}{2}^2+h^2}+a\)である。
一方、二等辺三角形の面積は、\(\displaystyle \frac{ah}{2}\)であるから、
\(\displaystyle \frac{ah}{2}=\frac{r(2\sqrt{\frac{a}{2}^2+h^2}+a)}{2}\)
\(\displaystyle r=\frac{ah}{2\sqrt{\frac{a}{2}^2+h^2}+a}\)
\(\displaystyle r=\frac{ah}{a+\sqrt{a^2+4h^2}}\)
（２）
n<-1または、0<nの整数の場合：
\(\displaystyle \lim_{a \rightarrow \infty} \frac{r}{a}=0\)
n=-1の場合：
\(\displaystyle \lim_{a \rightarrow \infty} \frac{r}{a}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\)
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その他の問題： 関数の極限に関する問題 数列の極限の問題一覧 数列の極限に関する問題２
