行列のトレース（\( \mathrm{tr} \)）に関する主な公式と性質は以下の通りです。これらは線形代数において非常に基本的で重要な性質です。

意外に気が付かないのが、巡回性（積のトレース）と相似不変性です。

行列のトレースの定義

\( n \times n \) 正方行列 \( A=\{a_{ij}\} \) に対して、その対角成分の和をトレースと呼びます。

\( \mathrm{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii} = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn} \)

主要な公式と性質

以下に、トレースの基本的な性質をいくつか示します。

  • 線形性

    トレースは線形汎関数です。任意のスカラー \( c \) と行列 \( A, B \) に対して、以下の関係が成り立ちます。


    • \( \mathrm{tr}(A + B) = \mathrm{tr}(A) + \mathrm{tr}(B) \)

    • \( \mathrm{tr}(cA) = c \cdot \mathrm{tr}(A) \)

  • 転置行列との関係

    行列を転置してもトレースは変化しません。


    • \( \mathrm{tr}(A) = \mathrm{tr}(A^T) \)

  • 積のトレース（巡回性）

    行列の積のトレースは、積の順序を巡回的に入れ替えても変わりません。これは非常に重要な性質です。


    • \( \mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA) \)

    • \( \mathrm{tr}(ABC) = \mathrm{tr}(BCA) = \mathrm{tr}(CAB) \)

    • ただし、一般に \( \mathrm{tr}(ABC) \neq \mathrm{tr}(BAC) \) です。

  • 相似変換との関係

    行列 \( A \) と相似な行列 \( P^{-1}AP \) のトレースは、元の行列 \( A \) のトレースと等しくなります。これは相似不変性と呼ばれます。


    • \( \mathrm{tr}(P^{-1}AP) = \mathrm{tr}(A) \)

  • 固有値との関係

    行列 \( A \) のトレースは、重複度も含めたすべての固有値 \( \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n \) の和に等しくなります。


    • \( \mathrm{tr}(A) = \sum_{i=1}^n \lambda_i \)

これらの公式は、線形代数やその応用分野（統計学、物理学など）で頻繁に使用されます。

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