ベルトランの逆説とは

円に内接する正三角形を考えます。つぎに、円の弦を一本無作為に選びます。この弦の長さが内接した正三角形の一辺より長くなる確率を求めます。

実は、この確率は一定に定まらないというのがベルトランの逆説です。求め方(考え方)によって、計算される確率が変わってくるのです。

ウキペディアで紹介されていますが、そのこで求められている確率は、

  1. 1/3である。
  2. 1/2である。
  3. 1/4である。

と3通りの確率の計算例が載っていて、そのどれもあっています。

同じ問題に対して答えが3通り(以上)あるというのがベルトランの逆説です。

 

無作為について考える問題

無作為とかランダムというのは、一見単純な概念のように見えますが、定義するのはかなり難しい概念です。無限と同じように、突き詰めていくとなんらかの規則があって、無作為、ランダムと言い切れなかったり、この逆説のように異なった結論が生まれてきます。

無作為に選んだ自然数が偶数である確率、無作為に選んだ点が有理数である確率、この無作為という言葉の裏にはなんらかの均一性(一様性)があるように思えます。

ベルトランの逆説は、どこにこの一様性をもってくるのかで結果がずれていったわけです。

 

長さは伸び縮みする

確率を計算するときに、長さ(や面積)の比で計算することがあります。

長さとは、伸び縮みするもので、長さの比はこれまた伸び縮みします。

長さの比で確率を計算すると、伸び縮みし、あるときには1/4、あるときには1/3、あるときには1/2とずれがでてきます。

ベルトランの例題での確率は、たまたま有理数の確率でありましたが、長さで計算する限り、考え方によって、たとえば√3/2のような無理数の確率もひねり出せそうです。

幾何学的な量、つまり距離(長さ)でなにかを測定する場合、距離の定義によって長さが伸び縮みします。

ということは、距離の定義を変更するれば、それに基づいて計算された確率も変動することになります。

一様に分布しているといっても、ゆがんだ空間でみて一様なのかもしれません。

確率分布関数も、矛盾なく伸び縮みできます、「無作為に」というときには、どこが一様になっているのかを明示しないと、いくらでも異なった解釈が生まれてくるわけです。