難しすぎて深入りしなかった(リーマン)ゼータ関数であるが、定義はすごくシンプルで、数論を扱ううえでは避けられない。
謎すぎる級数を調べていると必ずといってよいほどゼータ関数が絡んでくる。
$$ ζ(s)= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} $$
これがゼータ関数の定義式。
なにが謎かというと、例えば、\(s=0,-1\)の時に下記のような等式になるということ。
\[ 1+1+1+\cdots＝-\frac{1}{2} \]
\[ 1+2+3+\cdots＝-\frac{1}{12} \]
左辺は明らかに発散。右辺は収束。よって、この等式は成立しない。
しかし、左辺の級数の意味を変えると等式になるってことです。意味を変えるので通常の級数と区別するために、ダブルクォーテーションで囲む記法が使われている。
\[ “1+1+1+\cdots” ＝-\frac{1}{2} \]
\[ “1+2+3+\cdots” ＝-\frac{1}{12} \]
