確率の計算方法
確率を計算する原理は、
｛起こりえる事象の件数｝／｛すべての事象の件数｝
つまり、ひとつの事象を点で表すとすると、点の個数と、点の個数の比です。
有限の発生事象であれば、点の個数は有理数ですから、確率は有理数になります。
確率が無理数になる例
モンテカルロ法による円周率の計算
一辺が２の正方形に内接する円を考えます。
無作為に正方形から点を選択した場合、それが円の内側になる確率をもとめたらどうなるでしょうか？
正方形の面積は、４です。
円の面積は、πです。
したがって、正方形から無作為に点を選んだときに円の内部になる確率は、π／４
というのが、模範解答でしょう。
実際、正方形に座標を割り当てて、座標を無作為に選んで円の中にあるかどうかをシミュレーションしてみますと、試行回数を増やしていくにつれ、π/4に近づいていきます。
2つの自然数が互いに素となる確率
二つの自然数が互いに素である確率を求める問題がある。
そうとうな難問であるが、それがある意味
6/π2≒0.6
で表されています。無理数ですね。
確率が無理数になる場合、そこには無限が潜んでします。
正方形から点を選ぶ方法は無数にあります。
二つの自然数を取り出す方法は無数にあります。
無数な事象の比であるから無理数になるわけです。
無限が絡む確率
無限とは魔物です。無限がからむと理不尽と思える現象が発生します。無限がからんだ確率は逆説を産みます。
それがベルトランの逆説に現れてるわけです。
確率が無理数であった場合、その確率をどのようにして計算したのかを知らなければ、その確率の意味は分かりえません。
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