18.三角関数の公式を使って解く関数の極限値に関する問題
（極限が存在する場合）次の極限値を求めよ。
（１）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x – \sin x}{\sin 4x + \sin 2x} \)
（２）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{\sqrt{x^2+1}-x} \)
（３）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\cos 2x}{ 1- \tan x} \)
（４）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 8} \frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2} \)
（５）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\pi}{2}-\left( x+\frac{\pi}{2}\right) \cos x}{ \sin x}\)
（６）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos(1-\cos x)}{x^4} \)
19.挟み込みでガウス関数をつかった極限の問題を解く
（１）
次の極限値を求めよ
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{[x]}{x}\)
（２）
次の極限値を求めよ
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}\)
（３）
次の極限値を求めよ
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x^\circ}{x}\)
20.ある極限式が成立するように問題をつくる
次の式が成り立つように、\(a,b\)を定めよ。
（１）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{ax^2+bx+1}(\sqrt{x}-\sqrt{x-1})=1\)
（２）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x+x^2}-(1+ax)}{x^2}=b\)
21.抽象的な関数を扱った関数の極限の問題
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty, \lim_{x \rightarrow \infty} g(x)=\infty\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{g(x)}{f(x)}=1\)
のとき、次の二つの式は正しいか。正しければその理由を正しくなければその反例をあげよ。
（１）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{10^{g(x)}}{10^{f(x)}}=1\)
（２）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\log_{10} {g(x)}}{\log_{10} {f(x)}}=1\)
22.直線と直線の角度をゼロにしたときの極限問題(名古屋工大)
放物線\(y=x^2\)の上の点A\((a,a^2)\)における接線を\( l \)
点Aで\( l \)と角\(θ\)、角\(3θ\)で交わる直線\(l_2,l_3\)と
放物線のA以外との交点のx座標を\(x_1,x_2\)とするとき、
\(\displaystyle \lim_{θ \rightarrow 0} \frac{x_1-a}{x_2-a}\)
を求めよ。
23.二等辺三角形の底辺と内接円の半径の比に関する極限（名古屋大）
底辺\(a\)、高さ\(h\)の二等辺三角形がある。
（１）この三角形の内接円の半径\(r\)を\(a,h\)を用いて表わせ。
（２）\(n\)が0でない整数で、\(ah^n=1\)をみたしながら、\(a,h\)が変化するときに、
\(\displaystyle \lim_{a \rightarrow \infty} \frac{r}{a}\)を求めよ。
（名古屋大）
24.ｎ進法の桁数に関する極限の問題（浜松医大）
（１）
2進法で表したとき３０桁の整数は、１０進法で表すと何桁になるか。
\(\log_2{10}=0.3010\)として計算せよ。
（２）
正の整数nを２進法で表したとき、\(a_n\)桁になるとする。
このとき、
\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\log_{10}n}{a_n}\)
を求めよ。
（浜松医大）
25.ベクトルの長さがからんだ極限の問題は内積で解く
\(\vec{a}, \vec{b}\)は、平面上のベクトルで共に長さは１である。
\(\vec{a}, \vec{b}\)のなす書角が45°のとき、
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{|\vec{a}+x \vec{b}|-|\vec{a}|}{x}\)
を求めよ。
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その他の微分積分に関する問題
猫野の微分・積分は
鉄則微分・積分
をテキストとして使っています。
