行列のトレース（\( \mathrm{tr} \)）に関する主な公式と性質は以下の通りです。これらは線形代数において非常に基本的で重要な性質です。
知っていないと意外に気が付かないのが、巡回性（積のトレース）と相似不変性です。
行列のトレースの定義
\( n \times n \) 正方行列 \( A=\{a_{ij}\} \) に対して、その対角成分の和をトレースと呼びます。
\( \mathrm{tr}(A) = \sum_{i=1}^n a_{ii} = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn} \)
主要な公式と性質
以下に、トレースの基本的な性質をいくつか示します。
- 線形性
トレースは線形汎関数です。任意のスカラー \( c \) と行列 \( A, B \) に対して、以下の関係が成り立ちます。
- \( \mathrm{tr}(A + B) = \mathrm{tr}(A) + \mathrm{tr}(B) \)
- \( \mathrm{tr}(cA) = c \cdot \mathrm{tr}(A) \)
- 転置行列との関係
行列を転置してもトレースは変化しません。
- \( \mathrm{tr}(A) = \mathrm{tr}(A^T) \)
- 積のトレース（巡回性）
行列の積のトレースは、積の順序を巡回的に入れ替えても変わりません。これは非常に重要な性質です。
- \( \mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA) \)
- \( \mathrm{tr}(ABC) = \mathrm{tr}(BCA) = \mathrm{tr}(CAB) \)
- ただし、一般に \( \mathrm{tr}(ABC) \neq \mathrm{tr}(BAC) \) です。
- 相似変換との関係
行列 \( A \) と相似な行列 \( P^{-1}AP \) のトレースは、元の行列 \( A \) のトレースと等しくなります。これは相似不変性と呼ばれます。
- \( \mathrm{tr}(P^{-1}AP) = \mathrm{tr}(A) \)
- 固有値との関係
行列 \( A \) のトレースは、重複度も含めたすべての固有値 \( \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n \) の和に等しくなります。
- \( \mathrm{tr}(A) = \sum_{i=1}^n \lambda_i \)
これらの公式は、線形代数やその応用分野（統計学、物理学など）で頻繁に使用されます。
トレースが威力を出すシーン
定義だけみると、行列のノルムと比較して地味なトレースですが、行列の積に関するトレースが強烈に役立ちます。
\(A=\{a_{ij}\},B=\{b_{ij}\}\)を\(n\)次正方行列としたとき、
トレースの定義から直ちに
\( \mathrm{tr}(A^T B)= \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^m a_{ki} b_{ki}\)
であることがわかります。
この値はスカラーで、成分をよくみると、二つの行列の成分通しを掛けた総和になっています。
つまり、ベクトルの内積と同じような計算を行列で行っている式です。
行列の成分をベクトルのように１列に並び替えて内積をとったのと同じです。
この行列版内積は、トレースを使った式と行列の積から表すことができます。
\( \sqrt{\mathrm{tr}(A^* A)} \)は行列\(A\)のフロベニウスノルムと呼ばれています。
これによって、フロベニウスノルムの計算には、トレースの性質を使うことが可能となっています。
