集合論 集合の集合っていったいどんな集合？
集合って簡単そうで難しい概念です。理由はいろいろ考えられますが、そんな難しいことではなく、ここでは「集合の集合」という用語を具体的例を通して説明したいと思います。集合の例まずは、集合の例をあげます。集合は、中括弧つまり、「｛」と「｝」で囲ん...
集合論
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集合論 有限集合の例でべき集合を求めるよ
有限集合の例はたくさんあります。簡単な例をあげます。有限集合は、列挙することが可能な集合です。（１）｛赤、黒、黄、オレンジ、白｝これは色の名前の集合です。５個の元（要素）からなる集合です。元（要素）の数が数えられるので有限集合です。（２）｛...
集合論 有限集合についてわかりやすく書くよ
有限集合を難しくしているのは、無限集合があるから！これがここでの結論です。有限集合は難しくありません。きわめて素朴です。抽象的ではありますが、小学生でも理解できる概念です。無限集合が難しいのです。ですが、有限集合を考えると同時に無限集合につ...
集合論 １＋１＝２の証明が難しい理由
よく数学を教えて欲しいという友達が言うことがあります。簡単なものほど難しい。例えば1+1=2 の証明。どこが難しい？そんなこと小学生でもわかるでしょ！その友達がいいたいのは、おそらく「簡単すぎるとわからない」ということです。その友達に簡単な...
集合論 ハムサンドイッチの定理
ハムサンドイッチの定理とは食パン（上）、ハム、食パン（下）からできているサンドイッチを平面で同じ量にカットできるという定理です。実際には細かい誤差は発生するにせよ、サンドイッチを半分にきることなどよくやっていますよね。包丁の位置をちょっと右...
無限 公理的集合論から順序数(注意！本当に駄文でゴメン)
無限大が絡んだ数で演算を調べようとしても、なんとなくの説明でいまひとつ釈然としないか、踏み込もうとしると伏魔殿に足を踏み入れたような感じになります。公理的集合論真面目に無限大に取り組んでいる学問は、公理的集合論の世界でしょう。やはり、無限を...
数論 デデキント切断で考察すべき所
実数の定義は意外に難しいものですが、デデキント切断という考えで定義できます。具体的には、有理数のデデキント切断から、実数を構成することができます。デデキント切断(デデキントカット(dedekind cut))とは定義全順序集合 S を二つの...
無限 対角線論法を応用して極限が0の数列を0に収束させない
0に収束する数列に対角線論法を使うわかりやすく２進数で書いた下記の数列{an}を考えます。111...の部分は、1が永遠に続くことを意味した記号です。a1=0.111...a2=0.0111...a3=0.00111...a4=0.0001...
数論 「数直線上の点を実数と対応させても隙間だらけ」が正解
数直線は実数でも埋め尽くされない実数についてよくある誤解の一つが、「数直線は実数で埋め尽くされている」という命題である。たしかに、数直線上に実数を埋め込むことは可能であるが、数直線上を有理数で埋めたところ、間がスカスカであったのと同様に、数...
代数 可能無限の代表例を挙げる、数について考えるために。
可能無限に絞る可能無限と実無限について、その両者を対にし対比しながら意味を考えるのが王道である。しかし、ここでは可能無限に限定し、その例を示しながら可能無限とはなにか、その意味を確認する。ここでは数を研究する目的で可能無限について考えている...