0に収束する数列に対角線論法を使う

わかりやすく2進数で書いた下記の数列{an}を考えます。

111…の部分は、1が永遠に続くことを意味した記号です。

a1=0.111…
a2=0.0111…
a3=0.00111…
a4=0.000111…
a5=0.0000111…
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この{an}は、ご存知の通り、0に収束する数列です。

図でイメージするのなら、1から0に向かって半分のところをプロットした数列(点列)を表します。

対角線論法によりこの0に収束する数列は0にならない

対角線論法の考えで、この実数の数列を縦にならべて、対角線上の数からあたらしい数を作ります。この例では、赤い部分で数をつくることになります。そして、0の場合は1に、1の場合は0に数を反転します。

a1=0.111…
a2=0.0111…
a3=0.00111…
a4=0.000111…
a5=0.0000111…
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対角線から、0.11111… といった実数ができますが

各桁の0の場合は1に、1の場合は0に数を反転します。

すると、0.00000…とこの場合すべての桁が0の実数が得られます。

対角線論法を使うことによって、実数0(正確には0.000000…と0が永遠と続く無限小数)は数列{an}に含まれません。

なぜなら0が含まれたとすると、対角線論法に反するからです。

対角線論法により、数列{an}は決して0を含まない数列です。

これは、この数列の項は無限の彼方であっても0にはならないということです。

 

無限にしたらどうなるか

上記の数列{an}は0に収束する数列としてよく知られていますが、実はそれが間違いだったということです。これが対角線論法です。

対角線論法とは実に都合が良い論法です。あたかも無限の彼方まで判定したような気持ちになります。

対角線論法では、極限の状態でも数列{an}は0になりえません。

対角線は極限の項までもしっかりと追従してきますから、nが無限大になっている項であっても、数列{an}は0になりません(到着できません)。

 

まとめ

「実無限を捨てるか」、「対角線論法を捨てるか」の岐路に立たされている。