入試問題は、無駄な回り道をしてでも、答えにたどり着くことが重要だ。
エレガントに解くことにこだわらない。
この問題は、模範的な解答はいたることろで公開されているが、途中で躓いてしまった解き方の例を示す。全然エレガントではないが、これでも正解になるはず（採点基準による）。地道でも、論理的に道筋たっていれば点数になるはず。時間との勝負もあるので、場合によっては、この地道な解き方で答案作成する可能性もあるはず。
もちろん、時間に余裕があれば、最短な無駄のない解法でエレガントに答案作成するべきだ。
問題
2016京大前期文系
第３問nを4以上の自然数とする。
数２，１２，１３３１がすべてｎ進法で表記されているとして、\(2^{12}=1331\)が成り立っている。
このときｎはいくつか。十進法で答えよ。
とにかく地味な解法
とにかく、答えの当たりを付けておいて、答えらしきものが見えてきたら、論理的に漏れがないか確認して答案を作成する。
（問題にそんなことはかかれていないが）まずは、nが１０以上になることはありえないとして考える。
この場合、答えの候補は、５，６，７，８，９となる。
１、２、３は何進数で表記しても１、２、３のままだ。
ここに注目すると、与えられたｎ進数の方程式を普通の方程式に書き換えることができる。
※以下、\(1331[n]\)のように最後に[n]をつけたら、n進法で表してることにする。
例えば、\(12[5]\)は５進数の12なので10進数では、7（十進数では最後に[10]をつけない書き方もあり]
\(n=6,8\)の場合
６進数でも８進数でも、\(1331[n]\)は奇数となるので（2のベキになりえないので）、まず除外。
\(n=5\)
地道に計算
\(2[5]=2\)
\(12[5]=7\)
\(1331[5]=125+75+15+1=216\)
これも除外
\(n=7\)
地道に計算
\(2[7]=2\)
\(12[7]=9\)
\(1331[7]=7^3+3*7^2+3*7+1=512\)
ビンゴ！
\(n=9\)
地道に計算
\(2[9]=2\)
\(12[9]=11\)
\(1331[9]=9^3+3*9^2+3*9+1=1000\)
除外
したがって、\(n=7\)が答えの一つだ。
ここで、答えが見つかったしかも、検算まで完了している。ヤッター！
いちおう、\(n≧10\)の場合も考えておく。もしかしたら、一個ぐらい解が残っているかもしれない。
\(n=10\)なら
\(2[10]=2\)
\(12[10]=12\)
\(1331[10]=1331\)
\(2^{12}=4096\)
題意（\(2[n]^{12[n]}=1331[n]）\)を満たさない。
\(n=11\)なら
\(2[11]=2\)
\(12[11]=13\)
\(1331[11]=1728\)
\(2^{13}=8192\)で題意を満たさない。
ここで、\(2[n]^{12[n]}が1331[n]\)よりはるかに大きくなっていることに気がつく。
（実は、\(n=10\)でうすうす気がついてるはずだ）
なので、\(n≧10\)の場合は、\(2[n]^{12[n]}>1331[n]\)であって等号にならないことを示す。
ここがこの問題のコアなところだろう。
マークシート式なら\(n=7\)ですぐに答えに結びつくが、記述式であれば、それ以外に解がないことを示さなければならない。
\(2[n]^{12[n]}>1331[n]\)を示すためには、\(n \gt 7\)で
\(2^{n+2}>n^3+3n^2+3n+1\)
を示せば良い。
すでに、n=11までは示してあるから、それ以上のｎに対して数学的帰納法適用だ。
\(n=k\)で
\(2^{n+2}>n^3+3n^2+3n+1\)
が成立していると仮定する。
\(n=k+1, k \gt 7\)の時、
\(2^{(k+1)+2}-\left( (k+1)^3+3(k+1)^2+3(k+1)+1 \right)\)
\(= 2 \cdot 2^{k+2}-(k+1)^3-3(k+1)^2-3(k+1)-1\)
\(\gt 2 \cdot \left( k^3+3k^2+3k+1 \right) -(k+1)^3-3(k+1)^2-3(k+1)-1\)
\(= 2 k^3+6k^2+6k+2 -(k^3+3k^2+3k+1)-3(k^2+2k+1)-3(k+1)-1\)
\(= k^3-6k-6\)
\(= k^2(k-1) +k(k-7)+(k-6) \)
\( \gt 0\)
なんとなくめどがついた。
あとは、これらの考えた内容をわかりやすく、書き直せばよい。
考え方のまとめ
- ためしに、小さな数、４，５，６，７，８，９あたりで式の意味を確認する
\(n=7\)が題意を満たす。 - 問題をときやすい形に変形する（すべて十進数に変換する）
\(2^{n+2}=n^3+3n^2+3n+1\)となる正の整数\(n\)を求めれば良い。 - 明らかに適さない解（n=偶数)を除外する。
- \(n>7\)で解がないことを示す。
\(2^{n+2}>n^3+3n^2+3n+1\)を数学的帰納法で示す。
コメント
たまたまだと思うが、この問題では、\(2^{n+2}=n^3+3n^2+3n+1\) の右辺が因数分解できる。
\(2^{n+2}=(n+1)^3\)
この等式の正の整数解を求めよというのがこの問題と同値だが、素因数分解の一意性から
\((n+1)\)は2のベキでなければならない。
このことから、整数解nの条件をかなり絞りこめることができる。
