5以上の素数pの2乗-1は24で割り切れる

整数論の問題です。

\(p=5\)とすると、\(p^2-1\)は24ですから、24で割り切れます。

\(p=7\)とすると、\(p^2-1\)は48ですから、これも24で割り切れます。

問題

\(p\)を５以上の素数とします。

このとき、\(p^2-1\)は24で割り切れる(24の倍数である)。

これを証明します。

5以上の素数\(p\)はある自然数\(n\)を使って、\(6n-1\)または、\(6n+1\)と表すことができる。

（１）\(p=6n-1\)の場合

\(p^2-1=(p-1)(p+1)=(6n-2)6n=12n(3n-1)\)

であるから、\(n(3n-1)\)が偶数であることを示せば、\(p^2-1\)は24の倍数であることが示せたことになる。

\(n\)が偶数の場合、奇数の場合に分けて考えると、\(n(3n-1)\)は偶数であることがわかるので、題意が示された。

（２）\(p=6n+1\)の場合

\(p^2-1=6n(6n+2)=12n(3n+1)\)

である。

\(n(3n+1)\)は偶数であるから、\(p^2-1\)は24の倍数であることがわかる。

証明からわかるように、実は\(p\)が素数でなくても、\(6n-1\),\(6n+1\)の形の自然数であれば、\(p^2-1\)は24の倍数であることがわかります。

\(p\)が素数として考えると、難しい問題に見えてしまいますが、\(6n-1\),\(6n+1\)の形で与えられると、わりと簡単に示される問題です。