ここの解の公式を検証
\(x^3=t\)
を３次方程式の解の公式をつかって求めてみます。
もちろん、\(t\)は定数です。
３次方程式の解の公式再掲
\(x^3+ax+b=0\)
の解は、
\[u,v
=-\frac{b}{2}±\sqrt{ \left(\frac{b}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{3}\right)^3 } \]
とすると、
\[x=\left\{\begin{align*}
\sqrt[3]{u}+\sqrt[3]{v}\\
w\sqrt[3]{u}+w^2\sqrt[3]{v}\\
w^2\sqrt[3]{u}+w\sqrt[3]{v}
\end{align*}\right.\]
ここで、\(w=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\)
３乗根は、\(-3\sqrt[3]{u}\sqrt[3]{v}=a\)
となるように選択する。
公式適用
\(a=0,b=-t\)で解の公式を適用するとよい。
\[
u,v\\
=-\frac{-t}{2}±\sqrt{
\left( \frac{-t}{2}\right)^2
+\left(\frac{0}{3}\right)^3 }\\
=\frac{t}{2}± \left|\frac{-t}{2}\right| \\
=0,t\]
\[x=\left\{\begin{align*}
\sqrt[3]{t}\\
w\sqrt[3]{t}\\
w^2\sqrt[3]{t}
\end{align*}\right.\]
3次方程式の解の公式をつかって解を求めることができました。
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