数学的帰納法とは

数学的帰納法とは、数学の命題を証明する時に使う手法の一つです。

任意の自然数nに関する命題を証明するときに使います。

証明方法

自然数nに関する命題を数学的帰納法で証明するときには、下記の2つのことを証明します。

(1) n=1の場合を証明する。

(2) n=kの場合が証明されたとして、n=k+1の場合を証明する。

上記のバリエーションもいくつかありますが、基本的に上記の2つです。大概の場合n=1の場合の証明は簡単です。n=kの場合をつかってn=k+1の場合を示すのが証明の核心となります。

数学的帰納法で証明が結論付けられることを明示するために、(3)「(1)(2)より、全ての自然数nに対して命題が証明された。」と証明の根拠を書くのが論理的といえます。

 

具体的な例

数列の一般項の例です。

問題

\(1^2+2^2+3^2+・・・+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)を証明せよ。

証明

それでは数学的帰納法をつかて証明します。

(1) n=1の場合、(左辺)=\(1^2=1\)です、(右辺)=1*2*3/6=1となって(左辺)と一致するから成立。

(2) n=kの場合が成立すると仮定する。

つまり、

\(1^2+2^2+3^2+・・・+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\)が成立すると仮定する。

n=k+1の場合の左辺は、
\(1^2+2^2+3^2+・・・+k^2+(k+1)^2\)
\(=(1^2+2^2+3^2+・・・+k^2)+(k+1)^2\) //ここがミソ、n=kの場合を活用できる!
\(=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2\)
\(=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+\frac{6(k+1)^2}{6}\)
\(=\frac{(k+1)(2k^2+k)+6(k+1)^2}{6}\)
\(=\frac{(k+1)(2k^2+k+6k+6)}{6}\)
\(=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6)}{6}\)
\(=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\)

n=k+1の場合の右辺は、
\(\frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}\)
\(=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\)

となり、左辺と一致する。

(3)したがて、(1)(2)から全ての自然数nに関して

\(1^2+2^2+3^2+・・・+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\)

が成立する。

証明終わり

帰納法という呼び方について

帰納法というと、なにか元(1に)にもどってくる印象をうけます。

たとえば、上記の例題の場合、数学的帰納法で証明するとは、

n=10の場合を証明するために、n=9の場合を証明すればよい。

n=9の場合を証明するために、n=8の場合を証明すればよい。

・・・

n=2の場合を証明するために、n=1の場合を証明すればよい。

n=1の場合は証明できる、したがってn=10の場合が証明できた。

このような論理展開による証明方法と思わされる。

しかし、実際には、この逆であって、

n=1の場合証明できた。

n=1の場合が証明できたのでn=2の場合が証明できた。

n=2の場合が証明できたのでn=3の場合が証明できた。

・・・nの値を増やしながら繰り返すと
つまり「n=kの場合が証明できたらn=k+1の場合が証明できる」を繰り返す。

n=9の場合が証明できたのでn=10の場合が証明できた。

これは、n=10の場合であるが、この考え方を一般的に適用した証明方法といえます。