たすき掛けで因数分解したくても、適した数が見つからない!

2次の因数分解の話ですが、「たすき掛けで因数分解できない!」こんなことありませんか?

たすき掛けのやり方は習って知っている、でも、答えが見つからない!

例えば、\(6x^2-11x+4\)
を因数分解せよという問題!

時間をかければ、そのうちできると思いますよ。

でも、たすき掛けの因数分解って、なんだか運に任せた解法だと思いませんか?

たすき掛けのコツがあることはありますが、でもたすき掛けって、「因数分解された候補の式をためしに展開してみたら(計算してみたら)、求めたい答えになった。だから、その候補が因数分解の結果」こんな解法です。

掛けて6や4になる数の候補をあげて、その候補をタスキにして足すと-11なる数が簡単に分かれば、上記の例にあげた多項式の因数分解はできてしまいます。このやり方も結構有効であり、このやり方でできるのであれば、たすき掛けで因数分解してもらって全然よいです。

しかし、ちょっと数字が大きくなると、うまい具合にタスキで足しても-11になる数がなかなか見つからないことがあります(計算間違えなどの原因も含めて)。

特に、先に出した問題のように2次の係数がある場合、たすき掛けの組合せが爆発し運がわるければ、総当りしても計算ミスで失敗してしまう羽目に合ってしまいます。

タスキが簡単に行かない、そんなときの救世主は、解の公式です!。解の公式をつかって因数分解しましょう!解の公式を使えば、たすき掛けをつかわなくても因数分解できます。定数項の素因数の個数が多い場合など、解の公式を使ったほうが、結局は近道だったりしますよ。

この方法を使うと、整数係数で因数分解できるのかどうかの判定もできます。複素数の範囲で因数分解できます。

 

解の公式をつかった因数分解

まずは、公式を発表!

\(ax^2+bx+c=0\)の二つの解をα、βとしたとき、

\(ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)\)

と因数分解できます。

それでは、例題の問題を因数分解してみましょう。

 

\(6x^2-11x+4\)
を因数分解せよ!

まず、解の公式でxを求めます。

\(x=\frac{11\pm \sqrt{11^2-4*6*4}}{12}\)
より、

\(\displaystyle x=\frac{11\pm \sqrt{25}}{12}\)

\(\displaystyle =\frac{11\pm 5}{12}\)

\(\displaystyle =\frac{16}{12},\frac{6}{12}\)

\(\displaystyle =\frac{4}{3},\frac{1}{2}\)

 

\(\displaystyle α=\frac{4}{3},β=\frac{1}{2}\)
とできます。

したがって、公式を使うと、

\(6x^2-11x+4=6(x-\frac{4}{3})(x-\frac{1}{2})\)
と因数分解できて、分数にならないように、2次の係数6をうまく分配すれば、

\(6x^2-11x+4=(3x-4)(2x-1)\)
とたすき掛けをつかわずに、因数分解できました。

 

練習問題

(1)\(9x^2-21x+10\)
を因数分解せよ

 

(2)\(6x^2+x-12\)
を因数分解せよ

ちょっと、係数が大きいのでてこずります。計算早い人は、タスキで一発解決できるかもしれません。

コンピュータはたすき掛けでいろんな場合分けするより、解の公式でバッチっと計算する処理のほうが向いています。
※なお練習問題の答えは、(3x-5)(3x-2), (2x+3)(3x-4)です。