数列の極限として説明しますが、関数の極限の場合もこれと同じ考え方で通用します。

数列の極限

収束と発散の定義

数列{an}がある数αに限りなく近く、もしくは一致するとき、

数列{an}はαに収束するといい、

\(\displaystyle \lim_{n→\infty}a_n = \alpha\)

もしくは、

\(\displaystyle n→\infty のとき、a_n→\alpha\)

と書きます。

そして、

αを数列{an}の極限(極限値)といいます。

収束しない数列は、発散するといいます。

 

数列の極限の求め方(基本)

数列の一般項が不定形の場合は、式変形して、\(\frac{1}{n}\)の式になるように表し、\(\frac{1}{n}\)の部分を0に置き換えると極限が求められます。

不定形のままでは極限は求められません。

よくでてくる不定形の形を下記に示します。

  • \(\displaystyle ∞ – ∞ \)
  • \(\displaystyle \frac{∞}{∞}\)
  • \(\displaystyle \frac{0}{0}\)
  • \(\displaystyle ∞×0 \)
  • \(\displaystyle 1^∞\)…指数部分に注目すると不定形になる場合です\(e^{0×∞}\)。

 

例題

例題1

問題

数列

\(\displaystyle a_n=\frac{3n-4}{n-2}\)

の極限をもとめよ。

解き方

  • 一般項が、不定形∞/∞の形であるので、それを避けた形に変形します。
  • 分母と分子をnで割ります(定番操作です)。

解答

\(\displaystyle a_n= \frac{3-\frac{4}{n}}{1-\frac{2}{n}}\)

より、

n→∞のとき an→3

答え 極限値は3

 

例題2

問題

数列

\(\displaystyle a_n=\sqrt{n+3}-\sqrt{n}\)

の極限をもとめよ。

解き方

  • 一般項が、不定形∞-∞の形であるので、それを避けた形に変形する。
  • ルート記号があるときには、(この問題の場合は分子)有理化を考える。
  • ∞にしたときの極限は、比の形(分数の形)で求められることが多いので、分母に1があると思って変形します。

 

解答

\(a_n\)に\(\displaystyle \frac{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}} =1\)をかけると、

\(\displaystyle a_n= \frac{(\sqrt{n+3}-\sqrt{n})(\sqrt{n+3}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}\)
\(\displaystyle = \frac{3}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}\)

したがって、

n→∞のとき、an→0

答え 極限値は0

 

例題3

問題

数列

\(\displaystyle a_n=\sqrt{n^2+3n+1}-n\)

の極限をもとめよ。

解き方

  • 一般項が、不定形∞-∞の形であるので、それを避けた形に変形します。
  • ルート記号があるときには、なんとか有理化できないか考えます。

 

解答

\(a_n\)に\(\displaystyle \frac{\sqrt{n^2+3n+1}+n}{\sqrt{n^2+3n+1}+n} =1\)をかけると、

\(\displaystyle a_n= \frac{(\sqrt{n^2+3n+1}-n)(\sqrt{n^2+3n+1}+n)}{\sqrt{n^2+3n+1}+n}\)
\(\displaystyle = \frac{3n+1}{\sqrt{n^2+3n+1}+n}\)
\(\displaystyle = \frac{3+1/n}{\sqrt{1+3/n+1/n^2}+1}\)

n→∞のとき、an→3/2

答え 極限値は\(\displaystyle \frac{3}{2}\)