動く数

ときたまみかける動く数ですが、きちんと定義して使っている人をみたことがありません。

主に、極限の問題で登場しているようですが、その実態は数列といってよいと思います。

さて、動く数を使う人は、極限を求める時に、0に近づく数だとか、∞に発散する数として動く数を用いたいようです。

それはそれでよいのですが、その裏には、「動く数」には数としての期待がこもっているように思えます。

そのためには、動く数にも演算、比較が定義されていなければなりません。

演算に関してですが、商を除けば、わりと簡単に定義できます。

定義の仕方も何種類かあります。

しかし、商の定義が曲者なのです。

 

動く数を発展させる方向は、2通り考えられます。

  1. 商を考えない
  2. 商を考えるために積の定義を工夫したり、集合の要素を限定する

ここでは、後者の方向で考えていきます。

整域であれば商体が定義できる

商が定義できないのは、ゼロ因子があるからです。ゼロ因子を取り除く、もしくはゼロ因子が生じないように積の定義を見直します。ゼロ以外にゼロ因子がなければ(整域であれば)、商体を定義できますから、数(体)として扱うことができるようになります。

まとめ

動く数を数として格上げするためには、積の定義を見直す。