[msg#wsiki]
問題
\(\displaystyle f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{x^{2n+1}+ax^2+bx}{x^{2n}+1}\)
が全ての点で連続となるように\(\displaystyle a,b\)を定めよ。
解き方
それぞれのxに対して極限(が存在するか調べて)求める。
（１）\(\displaystyle |x| \lt 1\)の場合
f(x)は収束して、
\(\displaystyle f(x)=ax^2+bx\)である。
（２）x=1の場合
\(\displaystyle f(x)=\frac{1+a+b}{2}\)である（収束する）。
（３）x=-1の場合
\(\displaystyle f(x)=\frac{-1+a-b}{2}\)である（収束する）。
（４）\(\displaystyle |x| \gt 1\)の場合、
f(x)は収束して、
\(\displaystyle f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1+ax^{-2n+3}+bx^{-2n+2}}{x+x^{-2n+1}}\)
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}\)
である。
解答
極限を求めると、x=1,-1以外では連続関数になるので、x=1,-1の点で連続になるようにa,bを定めればよい。
x=1で連続になる（左極限と右極限がf(1)に等しい）ためには、
\(\displaystyle a+b=\frac{1+a+b}{2}=1\)
x=-1で連続になる（左極限と右極限がf(-1)に等しい）ためには、
\(-1=\displaystyle a-b=\frac{1+a+b}{2}\)
である必要がある。
これをとくと、a=0,b=1となる。
答え
a=0,b=1
[ad#foot]
その他の問題： 数列の極限の問題一覧
