[msg#wsiki]
問題
原点Oを中心とする単位円周上に、次の(i)､(ii）を満たす点列\(P_0,P_1,P_2\cdots\)がある。
ただし、\(P_0\)の座標は(１，０）とする。
(i) \(∠P_0OP_n\)はnと共に単調に増大し、\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} ∠P_0OP_n=2\pi\)である。
(ii) 数列\(\left\{∠P_0OP_n \right\} \) (n=1,2,…)は初項θ(θ>0)、公比r(r>0)の等比数列である。
扇形\( P_{n-1}OP_n \)の面積を\(S_n\)とするとき、
\(\displaystyle \frac{4}{7}\pi=S_1+S_4+S_7+\cdots +S_{3n-2}+\cdots \)
となるrを求めよ。
解き方
無限級数の問題です。
問題文から数列{Sn}の一般項を求めます。
実は、この問題は鉄則ゼミ１１問題の継続問題です。
鉄則ゼミ１１には、
（１）θとrの関係式を求めよ。
という誘導問題があります。
問題の数列が収束するためには、rとθはなんでもよいわけではなく、なんらかの制限がかかっています。
まず、「2πに収束する」という条件から、等比数列の和の公式をつかって
\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} ∠P_0 O P_n = θ+θr+\cdots+θr^{n-1}+\cdots\)
\(\displaystyle = \frac{θ}{1-r}\)
（この数列が収束するためには|r|<1が前提で、かつ問題文よりr>0である）
\(0 \lt r \lt 1、θ=2\pi (1-r)\)
の関係があることに注意しておく必要があります。
また、扇形の面積の公式から、
\(\displaystyle S_k=\frac{1}{2}1^2 θr^{k-1}=\frac{θr^{k-1}}{2}\)
である。
これから、
\(\displaystyle S_{3m-2}=\frac{θr^{3(m-1)}}{2}\)
つまり、
\(\displaystyle \{S_{3m-2} \}\)
は、初項θ/2,公比\(r^3\)の等比数列である。
これから問題式の級数が求められる。
解答
\(\displaystyle S_1+S_4+S_7+\cdots +S_{3n-2}+\cdots \)
は、初項は、初項θ/2,公比\(r^3\)の等比数列であるから、
\(\displaystyle \frac{4}{7}\pi=\frac{θ}{2(1-r^3)} \)
\(\displaystyle \frac{4}{7}\pi=\frac{2\pi(1-r)}{2(1-r^3)} \)
\(\displaystyle \frac{4}{7}=\frac{1}{1+r+r^2} \)
この２次方程式を解くと
\(\displaystyle r=-\frac{3}{2},\frac{1}{2}\)
となるが、0<r<1の条件から
\(\displaystyle r=\frac{1}{2}\)
答え
\(\displaystyle r=\frac{1}{2}\)
その他の問題： 数列の極限の問題一覧
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