[msg#wsiki]
問題
１辺がaの正四面体に内接する球S1の半径を求めよ。
次に、この正四面体の３つの面と球S1に接する球をS2とし、同じ３つの面と球S2に接する球をS3とし、順次このようにして小さくなる球をS1,S2,S3,…,Sn,…とする。
このとき、球S1,S2,S3,…,Sn,…との体積の和を求めよ。
解き方
立体問題なので図を描かないと問題の意味がわかりにくいですが、立体は図が描きにくいです。
そんな場合でも、２次元の場合でまず考えてから３次元に挑戦すると考えやすくなります。
正四面体を正三角形、球を円とおきかえてこの問題を考えると、円の半径、円の面積の総和を求める問題となります。
その考え方を３次元に拡大し応用します。
さて、三次元の場合の問題のイメージですが、まず正四面体があって、その中に収まる最大の球があって、その球（の外側）と、四面体の内側の隙間をさらに球を収めていきます。
この操作を繰り返すと、だんだん球は小さくなって、正四面体のある頂点に近づいていきます。
図形の対称性から、その正四面体の頂点とS1の中心を結んだ線分上に、すべての球の中心が乗っかっていることがわかります。
最初の球S1の半径ですが、断面図だけでは簡単に求められません。
というのは、断面図は正三角形でなく２等辺三角形であり、それに内接している円は３辺でなく２辺にしか接していないからです。
そこで２次元の類題の問題から解法のヒントを得ます。
２次元の三角形に内接する円の半径は、三角形の頂点と内接する円の中心を結んだ線でできる分割された３つの三角形の面積から求めることができます。
この考え方を３次元の場合に応用すると、正四面体の体積から内接する球の半径で表す等式を得て求めることができます。
具体的には、正四面体の頂点と、内接する球S1の中心を結んだ線分を辺とする四面体の体積から等式を得ます。
体積を求めるために必要な長さは断面図を描いてしっかりと求めます。
四面体の体積は、底面積×高さ÷３ですから、元の正四面体の体積は、
\(\displaystyle \frac{1}{3} (\frac{1}{2}a \frac{\sqrt{3}}{2} a) \frac{\sqrt{6}}{3}a\)
\(\displaystyle =\frac{\sqrt{2}}{12}a^3\)
各四面体の面とS1の中心を頂点とする四面体の体積は球S1の半径をr1とすると、
\(\displaystyle \frac{1}{3} (\frac{1}{2}a \frac{\sqrt{3}}{2} a) r_1\)
この小四面体が４つ合わさって元の四面体と同じができるので、
\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{12}a^3=4 \frac{1}{3} (\frac{1}{2}a \frac{\sqrt{3}}{2} a) r_1 \)
これを解くと
\(\displaystyle r_1=\frac{\sqrt{6}}{12}a\)
を得ます。
断面図からS2の半径を求めます。
球S1と球S2の両方に接する（両者を分断する）平面を考えると、S2に外接する正四面体を得ます。
四面体の比からそれに内接するS2の半径がわかります。
断面図からその相似比を求めると\(\displaystyle \frac{1}{2}\)ですから、
球S2の半径は球S1の半分です。
体積比は相似比の３乗になりますから、球の体積の数列は、初項S1の体積、公比1/8の等比数列になります。
解答
S1の中心を頂点とする四面体を考え、四面体の体積から、球S1の半径をr1とすると、
\(\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{12}a^3=4 \frac{1}{3} (\frac{1}{2}a \frac{\sqrt{3}}{2} a) r_1 \)
の等式が得られ、
\(\displaystyle r_1=\frac{\sqrt{6}}{12}a\)
となる。
初項S1の体積、公比1/8の等比数列の総和を求めると
初項S1の体積は\( \frac{4}{3}\pi r_1^3\)なので、
総和は、
\( \displaystyle \frac{4}{3}\pi r_1^3 \frac{1}{1-\frac{1}{8}}\)
これに\(\displaystyle r_1=\frac{\sqrt{6}}{12}a\)を代入すると
\( \displaystyle \frac{4}{3}\pi \frac{6\sqrt{6}}{12^3}a^3 \frac{8}{7}\)
\( \displaystyle = \frac{1}{3}\pi \frac{\sqrt{6}}{3^2}a^3 \frac{1}{7}\)
\( \displaystyle = \frac{\sqrt{6}}{189} \pi a^3 \)
答え
\(\displaystyle r_1=\frac{\sqrt{6}}{12}a\)
球の体積の総和は、\( \displaystyle \frac{\sqrt{6}}{189} \pi a^3 \)
その他の問題： 数列の極限の問題一覧
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