関数の極限を計算するときに、∞は正、ー∞は負と考える。

わかっているとはいえ、

符号の扱いに注意しないと落とし穴に落ちることがある。

 

例題

\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{\sqrt{x^2+1}-2}{x+1}\)

の極限を求めよ。

 

まずは、間違えた解答を示す。

誤った解答

与えられた式は不定形の形であるから、1/xで表す式へ変形する。

与式
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{(\sqrt{x^2+1}-2)(\sqrt{x^2+1}+2)}{(x+1)(\sqrt{x^2+1}+2)}\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^2-3}{(x+1)(\sqrt{x^2+1}+2)}\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{1-3/x^2}{(1+1/x)(\sqrt{1+1/x^2}+2/x)}\)
\(=1\)

答え 1に収束する。

 

これは間違えである。

うっかりやってしまう。

 

正しい答えを下記に示しておく。

 

正しい解答

 

与式
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{(\sqrt{x^2+1}-2)(\sqrt{x^2+1}+2)}{(x+1)(\sqrt{x^2+1}+2)}\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{x^2-3}{(x+1)(\sqrt{x^2+1}+2)}\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{1-3/x^2}{(1+1/x)(-\sqrt{1+1/x^2}+2/x)}\)
\(=-1\)

答え -1に収束する。

 

あえて説明しないが、解答の式をよくみれば間違えた部分がわかる。

 

まとめ

x→-∞の場合、xは負の数だと考えて極限を計算する。