[msg#wsiki]
問題
（極限が存在する場合）次の極限値を求めよ。
（１）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x – \sin x}{\sin 4x + \sin 2x} \)
（２）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{\sqrt{x^2+1}-x} \)
（３）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\cos 2x}{ 1- \tan x} \)
（４）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 8} \frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2} \)
（５）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\pi}{2}-\left( x+\frac{\pi}{2}\right) \cos x}{ \sin x}\)
（６）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos(1-\cos x)}{x^4} \)
解き方
三角関数の公式（加法定理など）を駆使してできるだけ簡単な式（極限を求めやすい式）にします。
使う公式は、
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\)
が基本です。
三角関数の基本の極限値 を使って証明されます。
これはアバウトにいうと、x=0の近くでは、\(\displaystyle \sin x =x\)と考えてよいということです。
x=0での極限で使える公式ですので、
\(\displaystyle x \rightarrow \frac{\pi}{4} \)
のような場合は、変数置換をおこなって
\(\displaystyle x \rightarrow 0 \)
の形に変形してから極限を求めたほうが公式が使えて計算しやすくなります。
教科書にかかれていないと思うので、試験の時には直接使わないほうがよいと思いますが、
問題（５）（６）で使う
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x }{x^2} =\frac{1}{2}\)
も公式として覚えておいたほうがよいです。
半角の公式を使わない証明を紹介しておきます。
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x }{x^2} \)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos x)(1+\cos x) }{x^2 (1+\cos x)} \)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin^2 x }{x^2 (1+\cos x)} \)
\(\displaystyle = \frac{1}{2} \)
解答
（１）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x – \sin x}{\sin 4x + \sin 2x} \)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \frac{\sin 3x}{x} – \frac{\sin x}{x} } {\frac{\sin 4x}{x} + \frac{\sin 2x}{x}} \)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 3\frac{\sin 3x}{3x} – \frac{\sin x}{x}}{4\frac{\sin 4x}{4x} + 2\frac{\sin 2x}{2x}} \)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ 3 – 1}{4 + 2} \)
\(\displaystyle =\frac{1}{3} \)
（２）
\(x\)の値によっては、\(\sin x=0\)となって、不定形の形になるのですが、無限大への極限の場合は、\(\sin x=0\)とは考えずに、-1から1の範囲の値を取ると考えます（固定した数値でなく振動すると考えます）。
分母が0、分子が有限の形で不定形ではないため、極限がないことがすぐにわかりますが、丁寧に解くとなると、まず有理化します。
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{\sqrt{x^2+1}-x} \)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x (\sqrt{x^2+1}+x)}{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)} \)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow \infty} \sin x (\sqrt{x^2+1}+x) \)
振動の幅がどんどん大きくなっていくわけですから、これは発散です（収束しません）
（３）
\(y=x-\frac{\pi}{4}\)とおくと、
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\cos 2x}{ 1- \tan x} \)
\(\displaystyle =\lim_{y \rightarrow 0} \frac{\cos (2(y+\frac{\pi}{4}))}{ 1- \tan (y+\frac{\pi}{4})} \)
\(\displaystyle =\lim_{y \rightarrow 0} \frac{\cos (2y+\frac{\pi}{2})}{ 1- \frac{\tan y + \tan \frac{\pi}{4} }{1-\tan y \tan \frac{\pi}{4}} } \)
\(\displaystyle =\lim_{y \rightarrow 0} \frac{\cos (2y+\frac{\pi}{2})}{ 1- \frac{\tan y+1 }{1-\tan y } } \)
\(\displaystyle =\lim_{y \rightarrow 0} \frac{-\sin (2y) }{ 1-\tan y – (\tan y + 1)} (1-\tan y )\)
\(\displaystyle =\lim_{y \rightarrow 0} \frac{\sin (2y) }{ 2 \tan y} (1-\tan y )\)
\(\displaystyle =\lim_{y \rightarrow 0} \frac{\sin (2y) \cos y }{ 2 \sin y } (1-\tan y )\)
\(\displaystyle =\lim_{y \rightarrow 0} \frac{\sin (2y)}{2y} \frac{y}{\sin y} \cos y (1-\tan y )\)
\(\displaystyle =1\)
（４）
有理化します。
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 8} \frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2} \)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 8} \frac{(x-8)(\sqrt[3]{x}^2+2\sqrt[3]{x}+4)}{(\sqrt[3]{x}-2)(\sqrt[3]{x}^2+2\sqrt[3]{x}+4)} \)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 8} \frac{(x-8)(\sqrt[3]{x}^2+2\sqrt[3]{x}+4)}{x-8} \)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 8} (\sqrt[3]{x}^2+2\sqrt[3]{x}+4) \)
\(=12\)
（５）
式の特徴をみるだけで、とくに、コツというものはないのですがあえていうと、\(\sin x = x\)と思って簡略できないか考えます。
実は、x=0の付近では、
\(\cos x = 1-\frac{x^2}{2}\)と近似されています。
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\pi}{2}-\left( x+\frac{\pi}{2}\right) \cos x}{ \sin x}\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\pi}{2}(1-\cos x) -x \cos x}{ \sin x}\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\pi}{2}\frac{1-\cos x}{\sin x} – \frac{x }{ \sin x} \cos x \right)\)
半角の公式を使います。
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left( \pi \frac{ (\sin \frac{x}{2}) ^2}{\sin x} – \frac{x }{ \sin x} \cos x \right)\)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \left( 4 \pi x \left( \frac{ \sin \frac{x}{2} }{x/2} \right) ^2\frac{x}{\sin x} – \frac{x }{ \sin x} \cos x \right)\)
\(\displaystyle= -1\)
（６）
cosの中が単純でないので、
\(h=1-\cos x\)
と置きます。
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos(1-\cos x)}{x^4} \)
\(\displaystyle =\lim_{h,x \rightarrow 0} \frac{1-\cos(h)}{x^4} \)
\(\displaystyle =\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1-\cos h }{h^2} \lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1-\cos x}{x^2}\right)^2\)
\(\displaystyle =\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \right)^2\)
\(\displaystyle =\frac{1}{8}\)
教科書には載っていないと思いますが、
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x }{x^2} =\frac{1}{2}\)
は公式として覚えておいたほうがよいです。
証明は、解き方や（５）の式変形で示したように\(\cos\)を\(\sin\)に置き換えると導き出されます。
答え
（１）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x – \sin x}{\sin 4x + \sin 2x} = \frac{1}{3} \)
（２）
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow \infty} \sin x (\sqrt{x^2+1}+x) \)
より、発散する（極限は存在しない）
（３）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\cos 2x}{ 1- \tan x} \)
\(\displaystyle =\lim_{y \rightarrow 0} \frac{\sin (2y)}{2y} \frac{y}{\sin y} \cos y (1-\tan y )\)
\(\displaystyle =1\)
（４）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 8} \frac{x-8}{\sqrt[3]{x}-2} \)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 8} (\sqrt[3]{x}^2+2\sqrt[3]{x}+4) \)
\(=12\)
（５）
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\pi}{2}-\left( x+\frac{x}{2}\right) \cos x}{ \sin x}\)
\(\displaystyle =\lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\pi}{2}\frac{2 (\sin \frac{x}{2}) ^2}{\sin x} – \frac{x }{ \sin x} \cos x \right)\)
\(\displaystyle =-1\)
（６）
参考までに、解き方とは違った書き方で解きます。
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos(1-\cos x)}{x^4} \)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos(1-\cos x)}{(1-\cos x)^2} \frac{(1-\cos x)^2}{x^4} \)
\(\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos(1-\cos x)}{(1-\cos x)^2} \left(\frac{1-\cos x}{x^2}\right)^2 \)
\(\displaystyle =\frac{1}{8}\)
こちらの変形を覚えると、他の問題でも応用が効くと思います。
その他の問題： 数列の極限の問題一覧
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