[msg#wsiki]
問題
次の数列の極限を求めよ。
（１）
\(\displaystyle a_n=n \sin \frac{\pi}{6n}\)
（２）
\(\displaystyle a_n=n(a^{\frac{1}{n}}-1)\)
解答（解き方）
数列の極限ですが、関数の極限の問題の応用として解きます。
２問とも、∞×0のパターンの不定形です。
重要公式
\(\displaystyle \lim_{t \rightarrow 0 } \frac{\sin{t}}{t}=1\)
\(\displaystyle \lim_{t \rightarrow 0 } \frac{\log{(1+t)}}{t} =1\)
\(\displaystyle \lim_{t \rightarrow 0 } \frac{e^t-1}{t} =1\)
２番めと３番めの公式は、
\(\displaystyle \lim_{t \rightarrow 0 } (1+t)^{\frac{1}{t}} =e\)
から得ることができます。
（１）
\(\displaystyle a_n=n \sin \frac{\pi}{6n}\)
\(\displaystyle \theta=1/n\)と置きます。
\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} n \sin \frac{\pi}{6n}\)
\(\displaystyle \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{1}{\theta} \sin \frac{ \pi \theta}{6}\)
\(\displaystyle \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\pi}{6} \frac{\sin \frac{\pi \theta } {6}}{\frac{\pi }{6} \theta}\)
\(\displaystyle =\frac{\pi}{6}\)
（２）
\(\displaystyle a_n=n(a^{\frac{1}{n}}-1)\)
\(t=a^{\frac{1}{n}}-1\)
とおくと、\(n \rightarrow \infty\)のとき\(t \rightarrow 0\)となります。
０の地点での極限に帰着すると公式など使いやすいと思います。
\(\log(t+1)=\frac{1}{n}\log{a}\)
より
\(\displaystyle n=\frac{\log{a}}{\log(t+1)}\)
\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} n(a^{\frac{1}{n}}-1)\)
\(\displaystyle =\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\log{a}}{\log(t+1)} (a^{\frac{\log(t+1)}{\log{a}}}-1)\)
\(\displaystyle =\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\log{a}}{\log(t+1)} ({e^{\log{a}}}^{\frac{\log(t+1)}{\log{a}}}-1)\)
\(\displaystyle =\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\log{a}}{\log(t+1)} ({e}^{\log(t+1)}-1)\)
\(\displaystyle =\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\log{a}}{\log(t+1)} t\)
\(\displaystyle =\lim_{t \rightarrow 0} \frac{\log{a}}{\frac{1}{t}\log(t+1)} \)
\(\displaystyle =\log{a}\)
答え
（１）
\(\displaystyle n \sin \frac{\pi}{6n} \rightarrow \frac{\pi}{6}\)
（２）
\(\displaystyle n(a^{\frac{1}{n}}-1) \rightarrow \log{a}\)
[ad#foot]
その他の問題： 関数の極限に関する問題 数列の極限の問題一覧 数列の極限に関する問題２
