複素数とは、

a+bi (a,bは実数)

の形で表すことができる数です。

iは虚数単位と呼ばれ、2乗すると-1になる数です。

複素数a+biにおいて、
aのことを実部(実数部分)、
biのことを虚部(虚数部分)
と呼びます。

 

ここで、

複素数a+biのbがゼロの場合、実数を表すことになります。

これによって、複素数は実数を含んでいると考えることができます。

逆に考えると、複素数は実数を拡大した数とも言えます。

さて、bがゼロでない複素数は、実数ではありません、虚数です。

 

複素数は、実数と虚数の二つに分割することができます。

 

 

虚数について

実は、虚数という言葉は、幅広く用いられています。

虚数を(実数を含む)複素数の意味で使う場合もあります。

また、虚数単位のことを単に虚数という場合もあります。

(漠然と考えて)実際に存在しない数のことを、虚数と呼ぶ場合もあります。

ほとんどは、文脈からどの意味で使用しているのかわかるので、

混乱することは少ないのですが、複素数のことをよく知らない場合には混乱もあり得ます。

 

純虚数

a+biのa(実部)がゼロの場合、この複素数は純虚数と呼ばれます。

実数0(ゼロ)も実部がゼロなので、上記の定義に従えば純虚数となりますが、

0は実数であって、虚数ではないので、純虚数と考えない場合もあります。

つまり、純虚数は虚数の範囲で考えて意味があるので、実数である0は除くわけです。

 

虚数単位

数学では、虚数単位を、iで表すことが多いのですが、jやkが使われることもあります。

また、

文字iは別の用途で使う場合があったり、目立たない、1と見間違えるなどから、

虚数単位を、√-1と書くことも以外に多いです。

 

ここで、

\(\displaystyle \sqrt{-1}\)の記載はちょっと注意です。

\(\displaystyle \sqrt{2}\)などのように、計算できませんから。

 

\(\displaystyle \sqrt{-1} ^2=-1\)です。

√の中が負なので、\(\displaystyle \sqrt{-1} \sqrt{-1} = \sqrt{(-1)(-1)}=1\)

 

とは計算できないわけです。

意味がわかっていれば、このような間違いはないのですが、

慣れていないと混乱のもとなので、虚数単位には、文字iを使うほうが無難です。

 

 

複素平面で考えた実数、虚数、純虚数

複素平面で考えると、

  • x軸に相当する部分が実数
  • (原点を除く)y軸に相当する部分が純虚数
  • x軸以外に相当する部分が虚数
  • 平面全体が複素数

となります。

 

複素数の例

 

複素数の例

実数、純虚数、虚数は複素数の特別な例

0、1+2i、3i(純虚数)、π(実数)、0.3-2.5i

などが挙げられます。

 

実数の例

虚部がない複素数

0、35、-√2、10-3√3

などが挙げられます。

 

純拠数の例

実部がない複素数

5i、2πi

などが挙げられます。