行列の分解は目的に応じてさまざまな分解法が存在します。

代表的なものを体系的にまとめました。

代表的な行列分解の一覧

分解法形式適用対象主な用途・特徴
LU分解 (LR分解)\(A = LU\) （L: 下三角, U: 上三角）正方行列（条件付きで可能）連立一次方程式の効率的解法、数値計算
QR分解\(A = QR\) （Q: 直交, R: 上三角）任意の \(m \times n\) 行列最小二乗法、数値安定な計算
特異値分解 (SVD)\(A = U \Sigma V^\top\)任意の行列次元削減（PCA）、データ圧縮、数値解析
対角化 (Diagonalization)\(A = P D P^{-1}\)対角化可能な正方行列行列のべき乗・指数計算、理論解析
スペクトル分解 (Spectral Decomposition)\(A = Q \Lambda Q^\top\)実対称（またはエルミート）行列固有値解析、最適化問題
コレスキー分解 (Cholesky)\(A = L L^\top\)対称正定値行列数値計算（大規模連立方程式）
ジョルダン標準形 (Jordan Normal Form)\(A = P J P^{-1}\)任意の正方行列理論的解析（最小多項式、冪零部分の構造）
極分解 (Polar Decomposition)\(A = U P\) （U: 直交, P: 半正定値対称）任意の正方行列幾何的解釈（回転＋伸縮）
Schur分解\(A = Q T Q^\ast\) （T: 上三角）任意の正方行列数値安定な固有値計算
Jordan–Chevalley 分解\(A = D + N\) （D: 対角化可能, N: 冪零, \(DN = ND\)）任意の正方行列抽象代数的解析（半単純＋冪零の分解）

使い分けの指針

  • 数値計算: LU分解, QR分解, コレスキー分解
  • 固有値や理論解析: 対角化, スペクトル分解, ジョルダン標準形
  • データ解析や機械学習: 特異値分解 (SVD), PCA
  • 幾何的理解: 極分解（回転＋スケーリングに分ける）

用語の注意

  • LU分解の呼称: 「LU分解」と「LR分解」は同義（ドイツ語圏でLRが多い）。
  • SVDの表記: 日本語では「特異値分解」で統一が一般的。
  • スペクトル分解の注釈: 「固有値分解」と混同されやすいため、対象（対称／エルミート）を明記すると親切。