京都大学理系数学2007年前期甲乙第3問

整数問題です。

この問題の場合はたまたまなんでしょうが、ここでも出てきますね、奇素数

問題

pを3以上の素数とする。4個の整数a,b,c,dが次の3条件
\(a+b+c+d=0,ad-bc+p=0,a≧b≧c≧d\)
を満たすとき、a,b,c,dをpを用いて表せ。

問題を解くヒントは、最後のまとめをみるとわかります。

問題へのコメント

なんという、変数が4+1=5個で、式が2つ(ただし不等式3つあり)なのに、4個の変数を1個の変数で表わせという問題。式が4つぐらい欲しいところですが、よく問題を読むと変数は全て整数、しかもpは素数となっています。
「pが素数」という条件を使ってかなり絞り込むようです。素因数分解ができると、場合わけで問題を分解することができます。できるだけ候補となる解を絞り込むところが問題をスマートにとけるかの鍵となります。

よく式をみると、1次式じゃありませんね、2次になっています。2次なので因数分解に持っていけそうです。第2式は、行列式を表しているような式ですが、行列と結びつけて解くのでしょうか?

解答

この問題の場合、第2式が行列式のようにみえる以外は特に特徴がありません。行列を作ったところでその先に使えそうな定理などなにも見えないので、とりあえず、変数を消去します。めざすは、左辺が因数分解されていて、右辺が素因数分解されているような式です。

消去する変数はなんでもよいですが、ここでは一番小さい変数dを消去することにします(一番大きいaを消去する手もありますが、あまり使わないdを消した方が見慣れた計算でよろしいかと思います)。

d=-a-b-cを第2の式に代入すると

\(ad-bc+p=0\)
\(a(-a-b-c)-bc+p=0\)
\(a^2+ab+ac+bc=p\)
\((a+b)(a+c)=p\)

思惑通り左辺が因数分解できました。しかも右辺は素因数分解のパターンが限定される素数(1の次に簡単な分解)です。

ここまでくると、もうゴールは見えています。山は超えました。ただし、変数が多いので油断はできません。

なにげに、分解の組み合わせは、①a+b=p,a+c=1②a+b=-1,a+c=-pしかありませんね。
先回りしてb>cを使って絞り込みました(答案にはもっと丁寧に場合わけの説明を書いたほうがよいと思います)。

①の場合

①の式から
b=p-a,c=1-aとb,cをaとpまでに絞り込みました。あとaをなんとか消さなければなりません。dもaとpで表しておきます。d=-a-b-c=-a-p+a-1+a=a-p-1

どうしても、aが残ってしまう。

まだ使っていない条件a≧b≧c≧dでどこまで絞りこめるでしょうか。この3つの不等式からaの範囲を絞り込みます。

不等式は3つですが、ここではまとめて書いちゃいます。

a≧p-a≧1-a≧a-p-1 (3個のaの不等式ですがずが真ん中の不等式は自明な不等式で、実質2個です)

これを解いて、p/2+1≧a≧p/2 。

なんと、ここでpが奇素数というのが有効に働くではありませか。aが整数というのなら、a=(p+1)/2しか解はありません。pが奇数なので、この場合、ちゃんとaは整数になります。

aがpで表せて、b,c,dはaとpで洗わせていますから、結果、a,b,c,dがpで表せることができました。

a=(p+1)/2, b=(p-1)/2,c=(1-p)/2,d=(-p-1)/2

②の場合

②の場合を考えます。②の式から、
b=-a-1,c=-a-pとなります。a≧b≧c≧dがどうなるか代入すると、

a≧-a-1≧-a-p≧1+a+pあら、矛盾する不等式がでてきました。②の場合をみたすa,b,c,dの組はありません。

したがって、答えa=(p+1)/2, b=(p-1)/2,c=(1-p)/2,d=(-p-1)/2 のみです。

解き終えて

きれいな答えがでるように問題が作られていました。どうやって考えて問題を作ったのだろう。

行列はあまり関係なかったように思えます。

場合分け②ですが、a+b+c+d=0、a≧b≧c≧dを考えると、a+b>0が導かれるので、それを使って除外してもよいと思います(a>0は簡単に示せますがa+b>0はちょっとこねくりが必要です)。

答えからわかることですが、a=-d,b=-cの関係になっていました。

まとめ

整数問題では、

(1)(整数の式1)(整数の式2)=(整数)

<左辺を因数分解の式>、<右辺を素因数分解>の形に分解する。

ちなみに、通常の変数が整数でない場合は、(式1)(式2)=0
のように左辺を因数分解して方程式など解きますが、整数問題の場合は右辺は0でなくてもよいところがミソ。

(2)不等式からも解を絞り込む

例えば、a<x<bという不等式があったとき、xが整数なら、xの値は有限個となるので、それぞれのxについて検討する。有限の検討で終了する。