[入門]
3次方程式とは
例を上げるのが一番手っ取り早いだろう。
3次方程式の例をいくつか上げる。
(1) \(8x^3=1\)
(2) \(2x^3+3-11x=-3x^2+9\)
(3) \(x-2)(x-4)+(x-5)^3=-9\)
これらは、式を展開し、すべて左辺に移行して整理すると
(1) \(8x^3-1=0\)
(2) \(2x^3+3x^2-11x-6=0\)
(3) \(x^3-14x^2+69x-108=0\)
となるが、xについての最高次の項はそれぞれ、
(1)\(8x^3\)
(2)\(2x^3\)
(3)\(x^3\)
であり、その次数(xの指数)はすべて3である。
このように、最高次の次数が３である項をもった多項式からなる等式を３次方程式よ呼ぶ。
通常は変数をxで表すが、他の文字を使ってもよい。
３次方程式の一般形は、項を整理すると、
\(ax^3+bx^2+cx+d=0 ただしa\ne 0\)
の形で表すことができる。\(a,b,c,d\)
は定数で方程式の係数と呼ばれるが、一般的にはある固定の複素数を表している。
ただし、実践的には実数に制限して使われることが多い。
特に断りがなければ、係数は実数と考えたほうがよい。実数であることを強調して実数係数の（３次）方程式と呼ぶこともある。
３次方程式の解
３次方程式の左辺はxの関数とみなせるので、それをf(x)とおく。
\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)
こうすると、３次方程式は
\(f(x)=0\)
と表すこともできる。
関数\(f(x)のx\)
にはいろいろな値を代入することができる。
一般的になにかをf(x)に代入してもその結果は0とは限らない。
もし、x=αを代入し\(f(α)=0\)
となった場合、そのαをf(x)の根または\(f(x)=0\)の解と呼ぶ。
３次方程式が与えられたときに、その解を(すべて)求めることを、３次方程式を解くという。
一般的に、解は複素数の範囲で求める。
簡単に解が求まることもあるが、一般的には解は簡単には計算できない。
ちなみに、さきほど紹介した三次方程式の解は、下記のようになる。
(1) \(8x^3-1=0 の解\)
\[x=\frac{1}{2},\frac{-1+\sqrt{3}i}{4},\frac{-1-\sqrt{3}i}{4}\]
(2) \(2x^3+3x^2-11x-6=0 の解\)
\[x=\frac{1}{2},2,-3\]
(3) \(x^3-14x^2+69x-108=0 の解\)
\[x=3,\frac{11+\sqrt{23}i}{2},\frac{11-\sqrt{23}i}{2}\]
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